методи за интеграция на 1.Chislennye
2.Vyvod формула Simpson
стъпка 4.Vybor интеграция
1. Числени методи за интеграция
Проблемът с числено интегриране е да се пресметнат неразделна
чрез поредица от стойности на подинтегрален.
числено интегриране на проблема трябва да се реши за функциите, определени в таблична форма, функция, интеграли не се вземат елементарни функции, и т.н. Ние считаме, че само на функциите на една променлива.
Вместо функцията, която искате да се интегрират, интегриране на интерполация полином. Методи, основани на замяната на подинтегрален полином интерполация позволява да се оцени точността на резултата, или по дадена точност, за да изберете тези опции в параметрите на полинома.
Изчислителни методи могат да бъдат групирани в грубо метод за приравняване на подинтегрален.
методи Нютън-Кот са базирани на функция приближение полином от степен. този клас алгоритъм се различава само по степента на полинома. Като правило, единици, приближаващи полином - ravnootnosyaschie.
Методи сплайн интеграция на базата на сближаване на сплайн функция-а по части полином.
В методите от най-алгебрични точността (метод на Гаус) използва специално подбрани neravnootnosyaschie възли, които осигуряват минимално интеграция грешка за даден (избрано) брой възел.
методи Монте Карло са най-често се използва при изчисляването на тройни интеграли, възли са избрани на случаен принцип, отговорът е вероятностен характер.
Независимо от използвания метод в числено интегриране е необходимо да се изчисли приблизителната стойност на интеграл и оценка на грешката. Точност намалява броя п-на
дялове на интервала. Въпреки това, закръгляне увеличава грешки
чрез сумиране на стойностите на интеграли изчислени в частични сегменти.
отрязване грешка зависи от свойствата на подинтегрален и частичен интервал дължина.
2. Заключение Simpson формула
Ако за всяка двойка сегменти за изграждане на втора степен полином, след това се интегрират и използването на добавка собственост на интеграл, ние получаваме формула на Симпсън.
Помислете за подинтегрален в интервала. Ние замени тази подинтегрален Lagrange интерполация полином от втора степен, която съвпада с точките:
Тя се нарича формула на Симпсън.
Получената неразделна стойност, за да съвпадне с площ извити трапец, ограничена от оста, прави и парабола, минаваща през точки
Ние сега се прецени грешката на интеграция чрез формула на Симпсън. Предполагаме, че има непрекъснати производни в интервала. Ние образуват разликата
Всяка една от тези две интеграли вече е възможно да се прилагат средна теорема стойност, както е в непрекъсната и неотрицателна функция на първия интервал на интеграция не е положителен, а вторият (тоест, не се променя знак на всеки един от тези интервали). Ето защо:
(Ние използва средната стойност теорема, като - непрекъсната функция).
Разнообразяване на два пъти и след нанасяне на средна стойност теорема, ние получаваме друг израз:
От двете оценки да се окаже, че формула на Симпсън е точна за полиноми от степен не по-висока от трета. Пишем формулата за naprmer Симпсън във формата:
Ако интервалът на интеграция е твърде голяма, тя е разделена на две равни части (вярват), и след това към всяка двойка от съседни сегменти. прилага формула Simpson, а именно:
Пишем формула на Симпсън в общ вид:
Точност на формула Симпсън - четвърти метод ред:
Тъй като метод на Симпсън, позволява получаването на висока точност, ако не е твърде висока. В противен случай, метод от втори ред може да даде по-добра точност.
Например, за функция с трапецовидна форма за получаване на точни резултати, докато формула Симпсън получи
3. Геометрична илюстрация
В 2 часа Дължина на сегмент изградена парабола, минаваща през три точки. Площта под параболата затворена между оста OX и прав, взето равно на интеграл.
Отличителна черта на приложения Симпсън е фактът, че броят на дяловете на интеграцията - дори.
Ако броят на сегменти на дяла - е странно, а след това, в продължение на първите три сегмента на формулата трябва да се прилага, при който се използва трета степен парабола, която преминава през първите четири точки за да се сближи подинтегрален.
Това е формула на Симпсън "три осми."
За случаен интеграция интервал формула (4) може да бъде "продължи"; при което броят на частични сегменти трябва да е кратна на три (точки).
Можете да получите формулите на Нютон-Кот-висок ред.
- дял брой сегменти;
- използва степен полином;
- то производно цел в точката;
В таблица 1, коефициентите са написани. Всеки ред съответства на един набор от празнини възли за изграждане на полином к-та степен. За да използвате тази схема за по-голям брой набори (например, когато к = 2 и п = 6), е необходимо да се "продължава" коефициенти, и след това да ги добавите.
Грешка алгоритъм оценка трапец и Симпсън формули могат да бъдат записани като: (7)
където - коефициент в зависимост от метода на интеграция и свойствата на подинтегрален;
ч - етапа на интеграция;
р - метод за.
Рунге-често се използва за изчисляване на грешка от двойно рендиране неразделна със стъпки ч и KH.
(8) - оценка впоследствие. След Iutochn. = + Ро (9), коригирана стойност на интеграл.
Ако поръчката на метода е неизвестен, трябва да се изчисли трети път в стъпки, а именно:
на система от три уравнения:
неизвестен I, А и п получаваме:
От (10) (11)
По този начин, методът на двойно прави, използвана много пъти, колкото е необходимо, тя позволява да се изчисли интеграла с предварително определена степен на точност. За да изберете желания брой дялове автоматично. Все още можете да използвате няколко препратка към съответните методи подпрограма интеграция, без да променят алгоритмите на тези методи. Въпреки това, с помощта на методите ravnootnosyaschie възли, то е възможно да се променят алгоритмите и да намали наполовина броя на изчисления подинтегрален с помощта на Риман суми, натрупани по време на предишния интеграция интервал няколко дяла. Две приблизителна стойност на интеграл и се изчислява по метода на трапец и стъпките, които са свързани с:
По същия начин, за интегралите изчисляват по формулата със стъпките и следните отношения притежават:
4. Избор на стъпки за интеграция
За да изберете етапа на интеграция може да се използва изразът на остатъка. Вземете, например, останалата част Симпсън:
ако ê ê след това ê ê ,
За определен метод за прецизна електронна интеграция от последното неравенство се определя подходящата стъпка.
Въпреки това, този метод изисква оценка (която на практика не винаги е възможно). Следователно, използването на други методи за определяне на точността на оценката, която в хода на изчисленията ви позволи да изберете желаната стъпка ч.
Нека разгледаме един от тези методи. нека
където - е приблизителната стойност на интегралните стъпки. Намаляване на стъпка два пъти, пробивайки сегмента на две равни части, и ().
Да предположим сега, че промяната не е прекалено бързо, така че е почти постоянна :. След това, от къде е.
От това можем да направим това заключение: ако, това е, ако и - необходимата точност, стъпката за изчисляване на интеграл с достатъчна точност. Ако, обаче, изчислението се повтаря със стъпка и след това сравнение, и т.н. Това правило се нарича върховенството на Рунге.
Въпреки това, с помощта на политика Runge прилага изчислителна стойност за грешка: с намаляване на абсолютните интегрални увеличава Изчисляване на грешки (обратно пропорционална зависимост) и достатъчно малък, може да бъде по-голям от грешката на метода. Ако е така, желаната точност не може да бъде и не може да се постигне за този етап да се прилага правилото Рунге. В такива случаи е необходимо да се увеличи стойността.
В получаването на Рунге правило, вие по същество се използва предположението, че. Ако има само една маса от стойности, след това проверете "на постоянството" може да се направи директно върху маса по-нататъшното развитие на прескача алгоритъм за адаптивния алгоритъм, в който чрез избор на различен етап на интеграцията в различни части на сегмента на интеграция в зависимост от свойствата намалява броя на изчисления на подинтегрален.
Друга схема изясни произволни числа - процес Eytnena. Изчисляване на интеграл се прави с стъпки. Изчисляване на стойности. След това (14).
Като мярка за точността на метода на Симпсън приемам стойност:
Пример 1. Изчислява интеграла над формула на Симпсън, ако дадена таблица. Прогноза за грешката.
Свързани статии