Очевидно е, че когато. В същото време, къде. получаваме:
Непрекъснатост и прекъснатост видове.
Ако някоя граница не съществува, тогава ние казваме, че функцията има прекъсване на мястото. Има три вида на почивките.
1) за еднократна употреба разкъсване. когато е налице, но.
Пример. Ние разшири функцията в стойност. От тогава функцията ще бъде прекъсната в точката. Въпреки това, чрез промяна на стойността на всички функции в един момент, ние получаваме в резултат на непрекъсната функция, така че трябва да се преодолее пропастта.
2) Счупете първото вид. Ако има ограничение в лявата и дясната граница, но се казва, че функцията на първия вид е скъсване с точка.
Пример. Помислете точката на функция. имаме
Когато срокът е различен знак:
По този начин, точка е точка на прекъсване на първите функции ред.
3) Всички други паузи се считат за фрактури на 2-ри вид.
Ако и след това. Ако и след това.
Пример 2 ,. Ако и този опит се провали, тогава. Ако, но тогава. По този начин няма ограничение (дясно или ляво) на функцията в точката, не.
Определение. Броят се нарича производно на функция в точка, ако има ограничение
(Граница на съотношението на функцията на нарастване в точка на стъпката на аргумента).
Производното е определен като или като.
За графиката на напречното сечение (линия, свързваща точки и) фракция е равна на наклона на линията
Има обозначават координатите на пресечната точка на ток. По този начин, той показва как леко (плавно) варира в зависимост от пресичащия.
Определение. Допирателната към графиката на функцията в точката, толкова крайно положение на пресичащи с.
От определението следва, че уравнението на допирателната там
Геометричната смисъла на производно е факта, че тя е наклонът на допирателната към графиката на функцията на точка.
Физическата смисъла на производно. Да предположим, че има време, през който материалните движи точка по права линия, а е разстоянието до отправна точка. Тогава функцията е законът на движение и определя промяната в позицията през часови точки.
В тази интерпретация, не е пробегът на материалната точка във времето. Ето защо, на фракцията има средна скорост за времето. Минавайки до краен предел, ние откриваме, че е налице моментната скорост на движение е описано в закона. Това е физически смисъла на производно.
Най-простият свойства производни.
Обект граници, определени от следните свойства производни.
2) за произволен постоянен.
3) Ако съществува производно в точка, е непрекъсната в този момент.
Производни по дефиниция.
Дължината на изминатото разстояние, е, от една страна, и, от друга страна, (дължина дъга) на. Ето защо,
обратната функция да функционира, не може да бъде изразена по отношение на елементарни функции. Затова изрично представителство също не може да бъде получена в класа на елементарни функции.
Нека има параметрично представяне на функцията.
Доказателство. Да - обратната функция, за да функционира. Тогава защо
По теоремата на производното на обратната функция имаме, където. Ето защо,
Производното на имплицитно функция.
Понякога е възможно да се определи в зависимост от имплицитно уравнение, което зависи от променливи :.
В този случай ние казваме, че функцията е определено по подразбиране.
Пример 1. Û ,
Въпреки това, изрично не винаги могат да изразят функцията чрез елементарни функции.
Да предположим, че точката принадлежи на набор от решения (т.е.), и нека - някои функции удовлетворяващо. Как да се намери производната? Най-лесният начин да се направи разграничение на идентичността и като се уверите, че производното е включена в получения израз е линеен, намиране на стойността.
Пример 1 продължава.
По-специално, ако
Проверка :, Когато стигнем.
Определение. Една точка се нарича локален минимум функция, ако за всички някакъв интервал, връзката
Ако неравенство се заменя с неравенството, а след това на мястото се нарича точка на локален максимум на функция.
теорема на Ферма. Да предположим, че функция се определя на определен интервал и диференцируема в точката. След това, ако е местен минимална или максимална на функция, а след това
Доказателство. Да предположим, че за определеност, че е локален минимум на функция. При определяне на производната на функцията в точката, помислете за ограничението на правото:
В числителя е положителна стойност, тъй като предположение. В знаменател е положителен, следователно ,. Сега помислете границата отляво.
В числителя, все още е на стойност положителна стойност, а изразът в знаменателя сега е отрицателно, следователно ,. Но след това. QED
Вайерщрас теорема (без доказателство). Непрекъсната функция дефинирана в интервала, достига най-малко, а максималната.
теорема Рол е. Да предположим, че функцията е непрекъсната върху и диференцируема във всяка точка на интервала. Ако и след това има една точка в интервала, в който.
Свързани статии