Критерии за разширяване на функциите на Тейлър

Нека да се върне в редиците. В §2.7 ние открихме, че ако функцията може да се разшири в конвергентна мощност серия с нея, тя е за тази функция Тейлър серия.

Възниква въпросът дали е вярно точно обратното? Да предположим, че функцията е безкрайно диференцируема на интервала. официално можем да изгради серия Тейлър за нея. Но докато ние не знаем дали нашата функция е сумата от поредицата, т.е. дали построен от Тейлър серия доближи до нашата функция на интервал. вместо знака за равенство сложи знака за съответствие:

Нека да определи условията, при които този знак може да се заменят с знак за равенство. Нека да напише формулата Тейлър за функции:

където - остатъка, и

- Тейлър полином на п-та степен, която може да се разглежда като частичен сума на серия Тейлър. По този начин,

Терминът остатъка от формула Тейлър за функцията може да се дефинира като разликата между функция и частично сума на серия Тейлър:

Чрез увеличаване на броя п е броят на условия в частичната сума, т.е. в Taylor полиноми увеличава, а останалата непроменена. Можете да видите поредица от гледна точка на грешки. Тази последователност от функции, определени в същия квартал на. в който има безкрайно диференцируема функция. Терминът остатъка показва грешка, получена в резултат на заместването на функции от частични суми на поредицата Taylor. Ясно е, че за да се получи добро приближение на поредица от грешки по отношение трябва да клони към нула. Вместо това, комбинация от "последователност на условия за грешки," често се каже просто "остатъка".

Теорема 1. необходимо и достатъчно условие за сближаването на поредицата Тейлър за функцията.

С цел да се функция може да се разшири в поредица Тейлър

интервала. е необходима и достатъчна, че е в този интервал и производни на всеки ред да срока на остатъка във формула Taylor (2.9.1) клони към нула изобщо. когато п ® ¥.

Теорема 2О достатъчно условие за остатъка от формула конвергенцията на Тейлър до нула.

Ако функцията в електронна близост до производно на каквато и да е ограничено от същия брой на остатъка от формула Тейлър в близост до нула, когато:

Разбиване на елементарни функции в Maclaurin серия

Като производно - завъртане на 90 ° (nris.2.10.3). Производни на произволен ред са ограничени: на. , Ето защо, от Теорема 2. и функцията може да се разшири в нея конвергентна на поредица Maclaurin в правомощията на х:

Ние показваме, че получената серия клони върху цялата реална ос. общ тест съотношение:

клони за всички х.

Ред (* 8) е различен от разлагане хиперболичен синус (2 х), редуващи се симптоми.

Срок от термин диференциация на серия (8 *), ние получаваме разлагането на косинуса на Maclaurin:

защото серия (9 *), получен чрез диференциране серия (* 8), теоремата на диференциацията на редица мощност серия (9 *) има същото интервал конвергенция тази серия (* 8).

Серия (9 *) различен от разширяването на хиперболичен косинус (х 3), редуващи се симптоми.