Пример 1. алгебра N = (М +) не е група, тъй като тя не е аксиоми G2 и G3.
ПРИМЕР 2 алгебра N = (N; х) не е група са нарушени G3 аксиома.
Пример 3. За да се докаже, че алгебра Z = (Z +), Q = (Q +), R = (R +) C = (С +) са безкрайни добавка абелева група.
Доказателство. Покажи, например, че Z = (Z +) е безкрайна добавка абелева група. В действителност, аксиоми:
В допълнение, много Z - безкраен.
Това, което искахме да докажем.
Пример 4 За да се докаже, че алгебра Q * = (Q *; х), R * = (R *; х), C * = (C *; х) са множители безкрайни абелева група.
Доказателство. Ние показваме например, че алгебра C * = (C *; х), където C * = С \ е мултипликативна група на Abelian безкраен. За да направите това, проверка на изпълнението на G1 на аксиоми - G4. В момента има:
В допълнение, C * - безкраен набор.
Това, което искахме да докажем.
Имайте предвид, че алгебра Q = (Q; х), R = (R; х), C = (С; х) не са групи са разбити G3 аксиома (0, няма обратен елемент, тъй като елементът не е определен в тези комплекти).
Пример 5. алгебра Z = (Z; х) не е група, тъй като G3 аксиома не се извършва.
Пример 6. свойства на операции на пермутации FN че алгебра (п>; х) е мултипликативна група на крайно-за п. Тази група се нарича симетрична и е означена с S п.
Примери 7 - 12. теорията на геометрични трансформации равнина (Cm геометрия разбира се.), Ние представяме следната безкраен мултипликативна група: 7) D = (D; х) групата на всички движения на самолета; 8) T = (Т; х) - група паралелно преводи равнина; 9) Ro а = (Ro на; х) групата на всички равнината на въртене около точка О; 10) = (А; х) Запознанства равнина афинни трансформации; 11) Ð = (Р; х) -група равнина трансформация проективна; 12) F = (F; х) -група симетрия геометрична фигура.
Пример 13. Нека R [X] - множеството от всички полиноми в една променлива х с коефициентите в набора от реални числа С. След това показва, че алгебра R [X] = (R [X] +) е безкрайна добавка абелева група. В действителност, аксиоми:
Освен това, множество от R [X] - безкраен.
Това, което искахме да докажем.
Пример 14. тривиален ограничен абелева група от ред 1: 0 = (+) - добавка, Å = (; Х) - мултипликативна.
Пример 15 е лесно да се провери, че алгебра G = (; х) е мултипликативна Abelian група с ред 2.
Пример 16. За да се покаже, че множеството от всички N-ти корен на една степен по отношение на умножение образува абелева група.
Доказателство. Спомнете си, че стойността
Те се обади на п-та степен на 1. В комплекс равнина корените на п - та степен от 1 Показани върхове на правилен N - гон вписан в единица кръг.
Проверяваме дали G1 на аксиоми, G2 ¢. определяне на втората група:
G2 ¢. В комплекта на корените п - та степен на един удовлетворителен операция деление. В действителност, ако Ем те години - всички корени на М - та степен на 1, а след това. това е лично е коренът на н-та степен на 1. От commutativity на умножение на комплексни числа трябва да е комутативен умножение на корени н - та степен 1: ЕМ ЕС = Ем Ес.
По този начин, алгебра (; х) - мултипликативна ограничен Abelian група за п.
Това, което искахме да докажем.
Пример 17. От добавяне на квадратни матрици на п - ти ред има следните свойства:
Пример 18. За да се докаже, че набор Z представлява група под действието определя от формулата:
а * б = а - б, и ако - нечетно число, б - цяло число>. Доказателство. 1. разглежда в Z е намалена до ефекта от добавяне или изваждане на числа, и тъй като и двете добавянето и изваждането на елементи от Z резултат на елемент на Z, тогава Z комплект за въпросното действие е бинарна операция. G1. Нека да анализираме възможните случаи: в) Ако - нечетно число, б - четен брой и с - произволен брой Z, а след това - б е странно, защото (а * б) * C = (а - Ь) - гр. а * (б * C) = Така че, когато това е възможно, като се има в Z бинарна операция * е асоциативен. G2. От 0 - дори, 0 * а = 0 + а = а. Освен това, ако е още, тогава * = 0 + а = 0; Ако А е странно, тогава * 0 = а - 0 = а. По този начин, във всички случаи, 0 * а = A * 0 = а. т.е. Z 0 е неутрален елемент спрямо предварително определено бинарна операция *. G3. За всеки елемент Îсъществува Z в Z е симетрична на елемент (а): за още и симетричен елемент е посочено добавка обратен. като A * (- а) = а + (-а) = 0; за нечетни и симетричен елемент е броят на себе си. защото По този начин, аксиоми G1-G3, и така алгебра Z = (Z; *) Обратно, групата (Z +) това не е абелева група от G4 не се извършва по аксиома. В действителност, например, 4 * 5 = 4 + 5 = 9, 5 * 4 = 5-4 = 1, което е 4 * 5 * 5 № 4. Това, което искахме да докажем. Пример 19. За да се докаже, че алгебра Zm = (Zm +), където Zm = =<> - набор от класове остатъчни модул т, е добавка Abelian група с ред m. Доказателство. Припомнете си, че добавянето на всеки две класове остатъчни вещества и т. J = 0, 1, 2, ..., m - 1, се определя както следва: Лесно е да се докаже, че определена сума, така че класът на остатъчни вещества не зависи от избора на отделни представители на класовете, използвани за приготвяне на сумата. Zm ще проверява за валидност на условията, които определят добавка Abelian група. Наистина, по дефиниция, количеството на остатъчни класове по модул М е само добре дефиниран клас приспадане на същия модул (изолиране на добавяне). (Допълнение операция асоциативност). (Елемент нула съществува). (Съществуването на всеки елемент срещу него). Имайте предвид, че проверката на посочените по-горе условия за класовете на остатъчни вещества, ние сме най-вече използвана за валидността на същите условия за набор от числа. Това, което искахме да докажем.Свързани статии