Позоваването
В компютърната математика играе важна роля за интерполация функции, т.е. изграждане на предварително определени функции други (обикновено опростен), чиито стойности съвпадат със стойностите, определени функция на няколко точки. И интерполация е едновременно практическо и теоретично значение. На практика често проблемът за реконструкция на непрекъснат тя таблични стойности на функцията, като например, получена в хода на някои експеримент. За да се изчисли много от функциите е ефективно да приведат своите полиноми или рационални функции. Теория на интерполация, използвани в конструкцията и изследване квадратура формули за методи за числено интегриране решаване на диференциални и интегрални уравнения.
В нашия случай, за по-пълно разкриване на по-отблизо предмет на концепцията за интерполация да се започне, а след това се интерполира директно гладки функции и гладка функция интерполация на мястото.
Цел: Да се разследва интерполиране гладки функции и практическото използване на интерполация функции.
1. Отчет за проблема с интерполация
полином грешка интерполация
1.1 Определяне на термина интерполация
За функция е (х), по-специално - или част от R, известен със своята стойност в ограничен набор от точки x1
, x2
, ... хп
Î [А, б], и в тези точки на F функция (х) се определя като:
Вие искате да се изчисли, поне приблизително, стойностите за всички х.
Такъв проблем може да възникне при провеждането на различни експерименти, когато стойностите на неизвестни функции се определя в дискретни моменти от времето, или в приближение теория, когато сложна функция относително лесно, изчислена за определени стойности на аргумента да се създаде таблица или графика функции и т.н.
Обикновено г (XI функция
), Xi
Î [А, Ь]. с което сближаването се извършва, са такива, че:
Такъв процес се нарича интерполация или сближаване интерполация. точка x1
, x2
, ... хп
наречен интерполация възли ако точка х, който се изчислява е (х), се намира извън интервала [а, б], след употреба на екстраполация. ж функция (XI
). наречен interpolant.
Тя трябва да отговори на следния въпрос.
1.2 Как да изберем един interpolant
Тези функции са базирани на комбинации от елементарни функции.
- фиксирана линейно независима система, и () - все още са неизвестни параметри.
Математическият формулирането на проблема с интерполация е както следва. Нека R
- пространство на реални функции, определени в интервала [а, б], и - дадени ограничен или бройна система функции на R
, такава, че всеки техен краен подсистема е линейно независими. За даден краен набор от точки x1
, x2
, ... хп
(XI
≠ XJ
когато ≠ й), принадлежащи на интервала [а, б], и дадената функция е (х) от R
намери функция # 966;, който е линейна комбинация от функции, така че в определени точки и стойностите на е # 966; съвпадна. С други думи, за да се определи константите a1
, a2
, ..., един
така че
Ясно е защо броят на коефициенти, трябва да съответства на броя на интерполация възли XI
. Това е да се гарантира, че матрицата е квадратен система (т.е., броят на неизвестни ще е равен на броя на условия, на които те са неизвестни). В допълнение, за уникалната платежоспособността на системата (за произволна дясна страна) е необходимо и достатъчно, че нейната детерминанта е различна от нула, т.е..:
Естествено, interpolant е необходимо да се изгради по-лека счетоводството, така че често приемаме за такива системи като:
1.3 полином интерполация
Ако си правомощия, ..., хп
>, Тогава се говори за алгебрични интерполация и функцията интерполация се нарича полином и е обозначен с:
тогава можем да построим интерполация полином от степен н и само един.
Намираме интерполация многочлен от формата (4). По това време, на базата на (5), за да се констатира неопределени коефициенти, използвайки система от линейни уравнения:
В този случай, детерминантата на системата от линейни алгебрични уравнения е както следва:
Този фактор е определящ фактор Vandermonde и е различна от нула в случай, когато всички възли XI
по-различно. Тъй като матрицата на системата не е дегенерат, след това разтворът на системата съществува и е уникална.
Уникалността на полином интерполация може да бъде доказано по следния начин. Да предположим, че има два интерполация полином
така безспорни. Уникалността на снимачната площадка. И тъй като само полином, тогава съответната система от линейни алгебрични уравнения има само едно решение.
1.4 Lagrange интерполация полином
Сега ние имаме проблем, който се състои от намери такъв полином от степен п, което съвпада с даден е (х) при X1 точките
, x2
, ... хп
Î [А, б], т.е. равнопоставеността
За да се реши този проблем, ще се въведе полином от степен сте, че в точките когато аз ≠ й е равна на нула, а на мястото, когато аз = й равен на единица. Ясно е, че:
където постоянно А е намерена от FJ
(XJ
) = 1, тогава
По този начин, ние откриваме, че
Ние считаме, че проблемът е решен полином