Приблизителната решение на уравнението с едно неизвестно

1. Да функция F (х), алгебрични или трансцендентално. Намерете стойностите на аргумента, за което. Функцията F (х) се два пъти диференцируема поне в близост до корените.

Приблизителни методите за решаване на F (х) = 0 са съставени главно от два етапа.

Първи етап. кореноплодни клонове, т.е.. д. прекарано празнина, вътре в която има само един корен. Такава разлика се нарича интервал изолирането на корен.

Вторият етап. Обновява приблизителната стойност, т.е.. Е. интервал изолация стесняване на някои желана степен на точност.

2. отдел на корените основава на факта, че ако - корена на уравнението F (х) = 0, тогава стойностите на стойностите на аргумента на функции F (а) и F (б) ще имат различни признаци, че е ...

Пример 1. Разделят корените.

Решение. Грим за маса, че стойностите на различни, произволно избрани стойности.

Определяне между -2 и 0, между 0 и 3 имат поне един корен.

3. Графични браншови корени. Чрез нанасяне на функция Y = F (х), е възможно да се определи точката на пресичане с абсцисата, т. Е. приблизителни стойности на корените.

Понякога е възможно да се замени уравнение F (х) = 0 чрез еквивалентната уравнение. Абциса бизнес точките на пресичане и са корените на първоначалното уравнение.

Пример 2. Разделят корените на уравнението.

Решение. Препишете уравнението във формата, ние изгради графики на функцията.

Ние се провери, че намери разликата разделя точно един корен, той трябва да предприеме първата производна, и да видим дали тя запазва своя знак върху интервала, а именно, дали знаците и едни и същи.

Значи, това е интервал от изолация корен на уравнението.

4. Изясняване на корените се извършва итеративно, което позволява първоначалното изолация търсене интервал тесен интервал, принадлежащи към интервал, и така нататък. D. Това може да бъде получено по различни методи.

Метод разполовяване

метод разполовяване е, че интервалът на изолация, намерено в отдел корен. разделят приблизително (или точно) две. В средната точка се определя знак на функцията F (С) и за следващия интервал изолация стойност на заряда или половини. в краищата на които функцията има различни признаци. От намерено интервал, както са получени, т.е., тя се разделя на две, и така нататък, докато дължината му не отговарят на предварително определена точност, т.е. до неравенството, след това, и където -...... Желаният корен уравнение - дава точност.

метод разполовяване клони винаги, но това изисква много дълго изчисление. Той се използва в изчисленията с малка степен на точност.

Пример 3 Намаляване корен интервал изолация намерено в Пример 2, така че дължината му не е повече от 0,1.

, корен; , Това отнема около средата на този интервал, се изчисли. New изолация ще интервали. Отново, да вземе по средата на това. Значи, това е по-тесен от интервала на изолация намери графично.

Коренът може да се разглежда като равен на 0.65 до 0.01 или с грешка.

акорди и тангенти метод

Този комбиниран метод е най-ефективният метод за пречистване на корена. Геометричната смисъла на този метод е показан на фиг. 2.

пресечната точка на допирателната и акорда ще даде нов, по-тесен интервал от изолация :. В този обхват, можете също да се изгради акорди и тангенти, които ще варират, и така нататък. Г. толкова дълго, колкото на неравенствата.

Очевидно е, че тангентата и струната са на противоположни страни на допирателната дъга и че трябва да се извършва чрез изпъкналост на функциите на графиката.

Изчисления граници изолация интервал направени по схемата

Стойностите се наричат ​​както е изменен, и са изчислени от зависимостта на посоката на издутината в следните формули

където - граничната изолиран интервал, намерено в отдел корен. Изчисленията се извършват толкова дълго, колкото на неравенствата.

Стойност на равни начала корен средата на сегмент

В същото време трябва да бъде.

акорди и допирателна метод клони към точната стойност на корена при следните условия.

1. F (х) е монотонно, т.е.. Д. не се променя знак.

2. F (х) запазва посоката на изпъкналост, т. Е. не променя знак.

3. да не се превърне много голям.

4 не е твърде близо до нула.

5. Първоначалният сближаване е достатъчно близо до основата, т.е.. Е. Интервалът изолация е достатъчно малък.

Грешката на метода е грешка при закръгляването която се случи в последната итерация. Случайни грешки не влияят на точността на изчисленията.

Изчисленията се извършват с един резервен значителна цифра.

1. В първия етап от решението на уравнението, което трябва да изготвите график възможно най-точно. След намирането на корен на интервала на изолацията трябва да се уверите, че функцията F (х) в края на този период има различни признаци. Ако това условие

не е изпълнено, тогава ще трябва да се провери коректността на строителния график.

2. За изясняване на основата трябва да се гарантира, че последователностите са монотонни, където

. Последователност трябва да намалява монотонно.

3. Препоръчително е да се следват количества знаци. Тези стойности трябва да останат със същия знак, колкото това. Нарушаването на това условие е "скок" през корена, което може да се дължи на неправилна селекция на изчислителните формули, аритметична грешка или грешка при закръгляването. В трябва да се направи, за да се намали абсолютната стойност на последното грешката да се избегне закръгляване корекции.

Задача. Предвид уравнението F (х) = 0, намери основата на това уравнение с точност напр.

1. Парцел у функция = F (х), или

2. Определяне на интервала [а; Ь], изолационни абсцисата строителство пресечната точка.

3. Уверете се, че основната й функция има различни знаци в краищата на този сегмент.

4. Необходимо е да се намали изолацията слота за метод разполовяване така, че дължината му е равна на 0,1. Получената първоначална интервал счита.

5. Намиране на деривати. Уверете се, че техните симптоми са съхранени в. Идентифицирайте тези признаци.

6. Изберете метод формули акорди и тангенти.

7. Raschertit и попълване на изчисление (вж. Пример 3).

8. отговор трябва да съдържа стойността на корен, корен функция и оценка на грешка.

Пример 4. Изчислява се малката корена на уравнението с точност.

1. Графичен разделяне и пречистване на корените за интервал уравнението на изолиране горе.

2. Проверете приложимостта на метода и тангенс на акорд на даденото уравнение.