Обобщените отворени набори от R наречени основа във всеки отворен, ако множество R може да бъде представена като сума на (краен или безкраен) брой комплекти, принадлежащи към тази група.
За да проверите дали даден набор от отворени основа комплекти или не, е полезно да се следния критерий.
Теорема 3. За да може системата да се отвори база mnozhestvpredstavlyala Br е необходимо и достатъчно условие за всяка отворена mnozhestvaG и за всяка точка ще има mnozhestvoiz тази система,
Доказателство. Ако - основа, а след това всеки отворен набор G е сумата от някои
Ето защо, всяка точка х в G принадлежи на някои съдържащи се в Г. И обратното, ако условието на теоремата е изпълнено, тогава - основа. Наистина, нека G - отворен набор. За всяка точка ние откриваме някои, така че сборът от всички тях е G.
С този критерий е лесно да се установи, че в даден показател пространство е съвкупност от всички открити площи е основа. Множеството от всички сфери с радиуси рационално е и основа. Въз основа на линията е, например, множеството от всички рационални интервали (R. Е. интервали с рационални краища).
R се нарича пространство с бройна основа ако R може да се намери най-малко една основа, състояща се от броимо брой елементи.
Теорема 4. За това беше chtobyR пространство с броим основа, е необходимо и достатъчно, че съществува не повече броим [3] плътен набор.
Доказателство. Необходимост. Да предположим, че R е изброимо основа изберете във всяка получена по този начин се създаде гъста в Р. Всъщност произволна точка, нека х - произволна точка в областта на научноизследователската и - някои квартал. Според Теорема 3, съществува набор, който съдържа Тъй като поне една от точките на квартала е с произволна точка се състои от най-малко една точка навън и това означава, че гъстата в R.
Достатъчност. Ако - броим плътен набор от R, набор от сфери образува бройна база R. В действителност, много от тези области е броим (като сума от изброимо множество изброимо множество). Освен това, нека G - отворен набор и х - точка в G. По дефиниция, съществува една отворена набор, че сферата е изцяло се съдържа в Г. Сега изберете от голямо разнообразие от точка, така че времето сферата съдържа х и се съдържа в, а оттам и в срещата на Г . Чрез теорема 3 следва, че в обхвата на основа в R.
По силата на теоремата представени по-горе (стр. 43) Примери за отделими пространства са в същото време, примери за пространства с бройна основа.
комплекти система за повикване, които обхващат от R, ако покритието, състояща се от откритите (затворени), определя се нарича отворен капак.
Теорема 5.EsliR - метрично пространство с изброимо основа, а след това всеки отворен капак, можете да изберете краен или изброимо subcovering.
Доказателство. Да - някои отворен капак R. По този начин, всяка точка се съдържа в
Да - броим база в Р. След това, в тази база има елемент, че съвкупността така избрани комплекта е ограничен или броими и обхваща всички R. избора за всеки един от сетовете, които го съдържат, и ние получаваме краен или изброимо subcovering покритие
Той вече беше посочено, че празното множество и цялото пространство R е едновременно отворен и затворен. Пространството, в което няма други комплекти, отворени и затворени, казва, да бъдат свързани. права линия R 1 представлява един от най-простите примери свързани метрично пространство. Ако останалите пространство вече няма да бъдат свързани R 1 премахване от ограничен набор от точки (например, една точка). Най-простият пример не е свързан пространство - две точки, разположени на произволно разстояние един от друг.
Свързани статии