Три точки в пространството. и. не лежат на една права линия, да определи един-единствен самолет. Очевидно е, че точката е в тази плоскост, ако и само ако векторите

в една равнина. В съответствие с критерия за една равнина е еквивалентно на смесения продукт от споменатите вектори е нула:

Последното уравнение е уравнение равнина, минаваща през тези три точки. Ако това детерминанта боя (например, с елементи на първия ред), тогава се получи общото уравнение на равнина.

Нека равнината, определена чрез определяне на нормалната вектор. спуска върху равнината от произхода на дължината на вектор. Да предположим също, че. , - ъглите, образувани от вектора на координатните оси. и. След това устройството, codirectional с вектора. вектор има координати. Лъжите в тази равнина, ако и само ако равенството

критерият за точка на равнината под внимание, че може да се опише с уравнението:

Това уравнение е уравнение на тази плоскост, се нарича своето нормално уравнение.

отправната точка на тази равнина е разстоянието от тази точка до самолета, взети със знак плюс, ако точката и лъжата произход на противоположни страни на равнината разгледани и взети със знак минус, ако точката и лъжата произход от едната страна на самолета в процес на разглеждане.

Помислете за произволна точка в пространството. Ние проектираме точката на вектора. Да - в резултат проекция. Отклонение от този момент самолетът е равен. Очевидно е, че

С други думи, за намиране на точката отклонение на самолета трябва да е в лявата част на нормален самолет уравнение заместител. и координатите на тази точка. Очевидно е, че разстоянието от точка на равнината, определена от уравнението:

Имайте предвид, че общото уравнение на равнината

Това може да доведе до по нормалния начин, както беше направено за уравнение на права линия в равнината. За да направите това, изберете номер, така че

Squaring първите три уравнения, да ги сгъване и предвид факта, че сумата от квадратите на уюта посоката е равна на единица, получаваме:

От уравнението следва, че този знак трябва да бъде избран противоположна на тази на свободния фактор. Номер. по този начин определено се нарича нормализиране фактор. Ако умножим двете страни на уравнението за общия коефициент нормализиране, ние получаваме нормалното уравнение. В съответствие с тези съображения, ние заключаваме, че разстоянието от точка до равнина, определена по формулата:

Пример. Намерете най-нормалното уравнение на равнината, минаваща през точките. , ,

# 8710; Ние използваме формулата за намиране на уравнението на равнината, минаваща през три точки са посочени. и:

Резултатът:

Получената уравнението е общото уравнение на равнина. Намалете към нормален изглед. За да направите това, да намерите нормализиращо фактор:

Умножете двете страни на общото уравнение на равнината намерени на фактора на нормализиране:

Това е нормално уравнение на тази плоскост. ▲