Def. Rangomr система на вектори е максималният брой на линейно независими система вектори.

Def. В основата на системата от вектори се нарича максимална линейно независими подсистема на системата от вектори.

По-специално, всеки набор от п линейно независими вектори в п-тримерно пространство е основата.

Теорема. Всички векторни системи може да бъде еднозначно представени като линейна комбинация от базисни векторите на системата.

Доказателство. Да приемем, че системата има основа.

1) Да вектора на основа (например е). След това.

2) Да вектора не е от основата. Например, това е вектор. където р> к.

Помислете системата .Той е линейно зависим. Следователно, съществуват редица. не всички нула, така че. Очевидно е, че. защото в противен случай, основата е линейно зависим. след това

3) да се окаже, че разширяването на вектора в основата е уникален.

Да приемем, напротив: има два разширяване на вектора в базата:

Изваждайки тези уравнения, получаваме:

Като се има предвид линеен независимостта на базисни вектори, получаваме:

Следователно, разлагането е уникална. ▲

Място наш тримерно пространство е равна на неговата измерение. Така че, който и да е на негова основа се състои от п линейно независими N-мерни вектори. Всяка система в п-тримерно пространство, съдържащи повече от п вектори е линейно зависим. Всеки вектор пространство може да бъде еднозначно разлага на векторите на всяка основа. коефициентите на разширение се наричат ​​координатите на вектора в тази база.