Тази статия описва метода за изчисляване на правилното неразделна гладка функция, като се използват формулите квадратура. Newton-Cotes формула имат следните характеристики:

• Предпоставка за този метод е сближаването на съществуването и ограниченията на функцията производно (процедура зависи от производно с формула)
• Newton-Cotes формула имат висок ред на точност
• Формула за "/>

където - е дефиниран и интегрируеми функцията интервал. Прилага в окото на интервал ^ N "/>

където - стойността на функцията на възлите. къде - на корекционните коефициенти. в зависимост само на възлите, но не зависят от избора. Формула (2) се нарича формула квадратура. Проблемът на числения интеграция използване квадратура е да се намерят такива възли "/> и подобни тегла" /> формула квадратура грешка

е минимална модул функция на даден клас (стойност зависи от гладкост). Грешката зависи от местоположението на възли и изборът на претегляне коефициенти. Ние въведе единна мрежа със стъпка. т.е. множество пиксели, и представляват неразделна (1), частично сума на интеграли над сегментите:

За да се конструира формула за числено интегриране през целия интервал достатъчно, за да се изгради квадратура формула за интеграл

на частичен сегмент, x_i] "/> и използването на собственост (3).

Строителство квадратура формули

С оглед на изложеното по-горе, изчисляването на приблизителната стойност на интеграл е направена с помощта на формула квадратура

Тази формула чрез заместване може да се редуцира до образец

Като цяло, компонентите и теглото не са известни и да се определят.

Да разгледаме случая, когато възлите са посочени и изисква да се намери тегло квадратура формула "/> Ние използваме изискване :. Уравнение (5) трябва да бъдат точни за всеки полином от степен да полином от степен отговарят на това изискване, е достатъчно да се изискват формула квадратура точни за. всеки мономен степен. Като се има предвид, че "/>, ние получаваме уравнението

Тази система има уникално решение, тъй като това е определящ фактор определящ фактор Vandermonde е различна от нула, ако няма съвпадение на възли,

тъй като тя е с точност до) ^ 3 "/>:

Формула триъгълник и трапец са точни за линейна функция, т.е.. за полином от първа степен, тъй като лесно се вижда директно. По принцип, както можете да изберете интерполация полином на Лагранж

където (а) "/> - Lagrange коефициент интерполация от равенството.

Вижда се, че с формула (5) има за полиномна степен, ако тегловните коефициенти, се определя по формулата

Формули от този тип се нарича Кот квадратурни формули.

Методът на презентация

Прилагане на квадратурни формули

Връщаме се на интеграл (1). Както е показано по-горе, този неразделна намалява до замяната на интеграла на единица интервал и следователно лесно може да се обобщи формула за приблизителна оценка на интеграла на единица интервал на произволно. Нанесете апарати квадратура формули. Нека еднакъв дял на интервала със стъпка, която е обозначена. Да предположим, също така, че някои избрани квадратура формула Newton-Cotes (т.е., се избира степента на полином и следователно всеки полином е изградена от гледна точка на мрежата). Ние също така вярваме, че множеството от точки, може да бъде разделена на подгрупи на точки със същата крайност, т.е.

След това, сумата от стойностите на квадратурата на всяка подгрупа, ние получаваме приблизителна стойност на тази интегрална. Ако означим факторите претегляне е приблизителната стойност на интеграл може да се запише като сбор от дубъл

Този алгоритъм може да бъде естествено генерализирана за случая, когато ^ К "/>, където, и във всеки сегмент даден единна мрежа. След това желаният неразделна е

и за всяка от частични сегменти приблизителната стойност на интеграл изчислява квадратурни формули.

Примери квадратурни формули

Ето някои примери за квадратурни формули Cotes на единна мрежа със стъпка, която е обозначена:

• 2 точки (трапецовидно правило метод)

ч (f_0 + f_1), "/>" />

• 3 точки (метод Симпсън),

ч (f_0 + 4f_1 + f_2), "/>" />

• 4 точки

ч (f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3), "/>" />

• 5 точки

ч (7f_0 + 32f_1 + 12f_2 + 32f_3 + 7f_4), "/>" />

• 6 точки

ч (19f_0 + 75f_1 + 50f_2 + 50f_3 + 75f_4 + 19f_5), "/>" />

• в продължение на 7 точки,

ч (41f_0 + 216f_1 + 27f_2 + 272f_3 + 27f_4 + 216f_5 + 41f_6), "/>" />

• 8 точки,

ч (751f_0 + 3577f_1 + 1323f_2 + 2989f_3 + 2989f_4 + 1323f_5 + 3577f_6 + 751f_7), "/>" />

• в продължение на 9 точки,

ч (989f_0 + 5888f_1-928f_2 + 10496f_3-4540f_4 + 10496f_5-928f_6 + 5888f_7 + 989f_8), "/>" />

• за 10 точки,

ч (2857f_0 + 15741f_1 + 1080f_2 + 19344f_3 + 5778f_4 + 5778f_5 + 19344f_6 + 1080f_7 + 15741f_8 + 2857f_9). "/>" />

метод за анализ

Площ грешка формула

Нека ти функция има непрекъсната производна на интервала, който е - точката, в която се помещава на функцията. Нека използва квадратура формула на ред. Представяме на функцията

След това формулата за грешка е както следва

Следователно, оценката за грешката

когато (т) | "/>, където> 0" /> 0 "/> - константа, и

Ако (т) "/> не се променя знак за интервал, а след това на теоремата средно имат

Числени стабилност квадратурни формули

Имайте предвид, че формули с Нютон-Кот използват рядко поради тяхната числена нестабилност води до рязко покачване изчислителни грешки. Причината за това е, че нестабилността на Newton-Cotes формули коефициенти като цяло имат различни признаци, а именно когато има положителни и отрицателни коефициенти.

Помислете за размера на квадратура

Да приемем, че функцията на стойност, определена на интервала, се изчислява с определена грешка, т.е. вместо точните стойности получат приблизителна стойност. След това, вместо да получаваме сума

От формулата за квадратурата е точна за, ние имаме

и не зависи от.

Сега нека приемем, че всички коефициенти не са отрицателни. Тогава от (11) и (12) получаваме прогнозата

което означава, че има същия порядък за голяма грешка при изчисляване на размера на квадратура (10), и че грешката при изчисляване на функцията. В този случай ние казваме, че сумата от (10) се изчислява последователно.

Ако коефициентите имат различни признаци, може да бъде, че сумата ^ п "/> не е равномерно, ограничена от и следователно грешка при изчисляване увеличава неопределено с растеж. В този случай, изчисляването на формула (10) ще бъде нестабилна и използването на такава формула за голям това е невъзможно.

числен експеримент

Ние даваме няколко примера за изчисляване на интеграли с помощта на формулите на Нютон-Кот. Когато изпълнението се използва C ++ език, следното е функция, която връща код на приблизителна стойност на интеграл.

Изходният код функция

Функцията за въвеждане отнема четири параметъра

двойно по - ляв край на интервала на тест

двойно б - в десния край на интервала на тест

вътр степен - степента на полинома използва

INT Ndivisions - броя на сегментите в който източникът. Съвпада с стойността във формула (7)

F - интегрируеми функция

Изчисляване на степените на Кот формули от 1 до 9 интегрална стойност

Изчисленията ще произвеждат без счупване в частичен сегмент, т.е., с помощта на точка, където степента на полином. Резултатите са показани в таблицата по-долу. Закръгляването се извършва с 6 знака след десетичната запетая.

Приблизителната стойност на интеграл

препоръки програмист

Автоматичен избор на етапа на интеграция посредством метода на последващ оценка на грешката на Рунге

Големината на грешка в цифровата интеграция зависи от етапа на мрежа, и гладкостта на подинтегрален. Количеството на грешка, в допълнение също така включва стойността (\ XI) "/>, която може да варира значително в интервала и известни предварително. За намаляване на грешката, е възможно да се смила на окото в предварително определен интервал. Но е необходимо грешка последващ оценка. Такива грешки оценка могат да бъдат Runge изпълнение. разгледаме прилагането на формула квадратура в частичен сегмент, x_i] "/>. Означаваме интегралната стойност за всички otrepke, за стойността на интеграла на та частичен интервал за приблизителната стойност на интеграл за целия интервал, получени с предварително определена формула и квадратура единна мрежа със стъпка и за "/> приблизителна стойност на интеграл на та частичен сегмент . Нека това квадратура формула на този частичен интервал е от порядъка на точност, т.е.

където в - постоянен. след това

Позволявам използва композитен квадратура формула

където всички частични сегменти квадратурни формули се използват със същия ред на точност (или, по-специално, на същата формула). Равен на всеки частичен сегмент, x_i] "/> изчисление два пъти - веднъж с етап на увеличените втори път" />, и впоследствие грешка оценка от Runge правило (14). Ако за даден 0 "ALT =" \ varepsilon> 0 "/> в неравенствата

т.е. ще се постигне дадена точност.

Ако, обаче, в някои сегменти на частична оценка (15) не е изпълнено, тогава стъпите на този сегмент трябва да се смила дори удвои отново да се оцени грешката. Фреза Mesh на този интервал трябва да бъде толкова дълго, колкото е достигната оценка на формата (15). Имайте предвид, че такова шлайфане може да продължи твърде дълго за някои функции. Поради това, в съответствие с програмата следва да осигури горна граница на броя на подобрения.

По този начин, автоматичен избор на стъпка интеграция води до факта, че интеграцията е важна стъпка в областта на гладка функция на климата и глоба терен - в областта на бързи промени. Това дава възможност за дадени стойности точност да се намали броят на изчисленията в сравнение с изчисляването на стартовата решетка с постоянна стъпка. Ще подчертая, че определянето на сумите, не е необходимо да се преизчисли стойностите на всички възли, изчисли достатъчно само за нови сайтове.

заключение

Формула Simpson и Newton-Cotes са добри апарат за изчисляване на определен неразделна достатъчен брой пъти непрекъснато диференцируема функция. На примера на формулите на ред, ние виждаме, че за ограничена производно съгласно формули ред точност е където - решетка разстояние и п "/> п" />. Това означава, че когато условията за приложимостта на този метод, формулите дават силен заповед на конвергенция. Въпреки това, като цяло, по-специално, дори при изчисляването на приблизителната стойност на интеграла става числено нестабилна, което ги прави неизползваеми.

Позоваването