Площ тип формула интерполация
Ние считаме, че приблизителната формула за изчисляване интеграли
където предварително определен интегрируеми функция (т.нар функция тегло), и е достатъчно гладка функция. Счита за по формули имат формата
където номера.
За разлика от предишния раздел ние няма да се счупи сегмента в частични сегменти, и да получи квадратура формули чрез замяна на интерполиране полином веднага върху целия сегмент. Така полученият формула се наричат квадратура тип формули интерполация. Обикновено, такива формули точност увеличава с броя на интерполация възли. Дискутирани в т. 3.1 Формула правоъгълници, трапецовидна и Simpson специални случаи на квадратурни формули тип интерполация когато. ,
Получават експресията на коефициентите за тип квадратура формули интерполация. На интервали дефинирани интерполация възли. , Предполага се, че няма припокриване, в противен случай те могат да бъдат сред тези възли са разположени произволно на.
Функция ще замени полином Lagrange интерполация (вж. Лекция 2, с формула (2.4))
изразяване често написани в различна форма. Представяме на полином от степен
и изчисли производно на:
След това ние откриваме, че
Смяна неразделна (3.25) функция интерполация полином на Lagrange
Приблизителната формула (3.26) (да се докаже дома. Задник. №4), където
По този начин, с формула (3-26) е вид формула квадратура интерполация ако и само ако неговите коефициенти се изчисляват съгласно (3.28).
Гаус "метод на изчисляване на определен интеграл
В предишния раздел се предполагаше, че компонентите квадратура от формулите, дадени по-рано. Може да се покаже, че ако използването на интерполация точки, ние получаваме квадратура формули, точният размер на алгебрични полиноми. Оказва се, че с избора на възлите могат да получат квадратура формули, които са точно за полиноми от степен по-високи. Да разгледаме следния проблем: конструира квадратура формула
които, когато се дава да бъдем точни за алгебрични полином най-голяма степен. Тук, в името на удобството възли започва номерация.
Такива съществуват квадратурни формули. Те се наричат Гаус. Тези формули са точни за всяка алгебрични полиномна степен.
Ето защо, ние изискваме формула квадратура (3,29), е точна за всеки алгебрични полином от степен. Това е еквивалентно на изискването, че формулата е точна за функциите. , Затова ние се условията
което представлява нелинейна система от уравнения за неизвестното
За броя на уравненията е равен на броя на неизвестните, е необходимо да се търсенето.
При разглеждане квадратурни формули (3.29) от общия вид, да се въведе полином
Ние приемаме, че.
ТЕОРЕМА 1. квадратура формула (3.29) е точно за всеки полином степен, ако и само ако са изпълнени следните две условия:
1. ортогонален полином с тегло всеки полином от степен по-малко. т.е.
2. Формула (3,29) е квадратура формула тип интерполация, т.е.
Използване теорема 1 значително опростява конструкцията на формула Гаус.
Състояние (3.32) е еквивалентна на изискванията на
което е система от уравнения за неизвестните. По този начин, за да се изгради Гаус формули намерят достатъчно възли на ортогоналност отношения (3.34) и след това се изчисли коефициентите според (3.33).
Нека разгледаме някои специални случаи, когато може да се намери решение на системата (3.34) директно.
Да. , , Когато стигнем и
(Разтвор къщата. Ass. №4).
Свързани статии