максимална вероятност метод е един от най-разнообразни методи за оценка неизвестни параметри на разпределения.
Да - извадка от населението като цяло, който има функция на разпределение. в зависимост от неизвестен скаларна величина (определен параметрични наблюдения модел).
Ако се наблюдава закона за разпределение е непрекъсната случайна величина, т.е. има плътност вероятност. функцията
счита при фиксирана проба като функция на параметъра. Тя се нарича функцията вероятност.
Ако наблюдаваната случайна променлива е дискретна право за разпространение дадени от вероятности. функцията вероятност се определя от:
Максимална вероятност оценка на параметъра се нарича стойността на параметъра. където функцията вероятност за дадена проба пикове:
За фиксирана вероятност функция определя правото на разпределение на случаен вектор. координати, които са копия на наблюдавания случайна променлива:
в случай на непрекъснато;
в случай на дискретно.
Ето защо, максимална вероятност смисъл е, че като се избира стойността на оценка. в които вероятността за получаване на стойности на примерни данни. като реализацията на случаен вектор. максимум.
Ако функцията е диференцируема на вероятността. максималната оценка вероятност може да се намери чрез решаване по отношение на уравнението на вероятност
Разбира се, като се уверите, в същото време, че решението дава функцията вероятност е максимум.
Често е по-удобно да се проучи до екстремум не е функция на вероятност. и логаритъм. Тъй като функциите и имат повече от една и съща точка поради монотонна увеличение на логаритмичната функция, максималната оценка вероятност може да се намери чрез решаване на уравнението е еквивалентна по отношение на вероятността
Ако параметърът е вектор, а след това за намиране на максимални оценки вероятност трябва да се реши системата на правдоподобие уравнения
или еквивалентна система от уравнения
Всички тези резултати са валидни, когато тя не е оценила себе си параметър. като параметри функция.
Стойността на максималната вероятност изчислява, поради следните качества, които са валидни в рамките на много общи предположения (без доказателство):
- максималната вероятност оценителят е последователен оценител на неизвестния параметър. ;
- максимална оценка вероятност е асимптотично ефективна оценка неизвестен параметър. , където
- ефективно параметър за оценка;
- максималната вероятност оценителят е асимптотично нормално оценител на неизвестния параметър. т.е. когато е подходящо разпределение нормализиране право на максималната вероятност оценителят е нормално: Този имот е много важно да се намери оценките на вероятността за отклонението от истинската стойност на параметъра.
Въпреки това, метода на максималната вероятност не винаги води до безпристрастни оценки и уравнения (уравнения) може да бъде решен доста трудно да се намери максималните оценки вероятност.
Пример 1. наблюдаваното случайна променлива има нормално разпределение със средна неизвестен и известно отклонение. това означава, че е с плътност на вероятностите видове. Намерете проба максимална вероятност оценката на параметъра.
Решение. Ние считаме, функцията за вероятност:
Ние намираме функцията на логаритмичната вероятност:
Построява уравнение вероятност:
вероятност разтвор на уравнението:
По този начин, в нормалния модел на максималната вероятност оценителят е безпристрастен, последователен и ефективен оценител на неизвестен очакването.
Имайте предвид, че един и същ резултат при този модел резултати и начина на моменти, но е много по-просто:
Пример 2. наблюдаваното случайна променлива има нормално разпределение със средна известни и неизвестни вариацията. това означава, че е с плътност на вероятностите видове. Намерете проба максимална вероятност оценката на параметъра.
Решение. Ние считаме, функцията за вероятност:
Ние намираме функцията на логаритмичната вероятност:
Построява уравнение вероятност:
вероятност разтвор на уравнението:
По този начин, в нормалния модел на максималната вероятност оценителят е безпристрастен, последователен и ефективен оценител на неизвестен вариация (показване на себе си!).
Имайте предвид, че един и същ резултат при този модел резултати и начина на моменти, но е много по-просто:
Пример 3. наблюдаваното случайна променлива има нормално разпределение със средна неизвестен и неизвестен вариацията. това означава, че е с плътност на вероятностите видове. Намерете проба максимална вероятност оценката на параметъра.
Решение. Ние считаме, функцията за вероятност:
Ние намираме функцията на логаритмичната вероятност:
За да намерите максималната вероятност оценка на двуизмерен създаването на система от уравнения вероятност:
Решението на вероятността от системата:
По този начин, като цяло нормален модел максимална оценка вероятност. В този случай, средната стойност на извадката е безпристрастен, последователен и ефективен оценител на неизвестен очакването. и дисперсия на пробата е асимптотично безпристрастно, последователно и ефективно асимпотично оценка неизвестен вариацията.
Имайте предвид, че един и същ резултат при този модел резултати и начина на моменти, но е много по-просто:
Пример 4. наблюдаваното случайна променлива има разпределение на Поасон с неизвестни параметри:
Намерете проба максимална вероятност оценката на параметъра.
Решение. Ние считаме, функцията за вероятност:
Ние намираме функцията на логаритмичната вероятност:
Построява уравнение вероятност:
вероятност разтвор на уравнението:
Имайте предвид, че същите резултати за резултатите и метода на моменти в този модел.
Свързани статии