Нормално линейна система на диференциални уравнения различни коефициенти записани като \ [>>> = = \ сума \ limits_ ^ п> \ наляво (т \ дясно) \ лявата с (т \ дясно)> + \ наляво (т \ полето),> \; \; \] Когато \ (\ наляво (т \ дясно)> \) - неизвестни функции, които са непрекъснато и диференцируема в даден интервал \ (. \ Наляво [\ полето] \) Коефициентите \ (> \ наляво (т \ дясно)> \) и постоянните условия \ (\ оставени (т \ дясно) \) са определени непрекъснатост на интервал \ на (\ наляво [\ полето]. \)
Използване нотация вектор матрица, тази система от уравнения могат да бъдат написани като \ [> \ наляво (т \ дясно) = A \ наляво (т \ дясно)> \ наляво (т \ дясно) +> \ наляво (т \ дясно) \ ] където \ [> \ наляво (т \ дясно) = \ наляво (> \ наляво (т \ дясно)> \\ \ наляво (т \ дясно)> \\ \ vdots \\ \ наляво (т \ дясно)> \ край> \ вдясно),> \; \; >> \ наляво (т \ вдясно) >> \ наляво (т \ дясно)> \ vdots > \ Left (т \ дясно)> \\> \ наляво (т \ вдясно) >> \ наляво (т \ дясно)> \ vdots > \ Наляво (т \ дясно)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ Cdots \\> \ наляво (т \ вдясно) >> \ наляво (т \ дясно)> \ vdots > \ Наляво (т \ дясно)> \ край> \ полето),> \; \;> \ наляво (т \ дясно) = \ наляво (> \ наляво (т \ дясно)> \\ \ наляво (т \ полето )> \\ \ vdots \\ \ наляво (т \ дясно)> \ край> \ дясно).> \] Като цяло, матрица \ (а \ наляво (т \ дясно) \), и вектор функция \ на (> \ ляв (т \ вдясно), \) \ (> \ наляво (т \ вдясно) \) може да приема както реални и комплексни стойности.
Съответният хомогенна система с променливи коефициенти във вектор форма е \ [> \ наляво (т \ дясно) = A \ наляво (т \ дясно)> \ наляво (т \ дясно). \]
Основните система на разтвори и основната матрица
Вектор функция \ (_ 1> \ наляво (т \ полето), _ 2> \ наляво (т \ полето), \ ldots, _n> \ наляво (т \ дясно) \) са линейно зависими от интервал \ на (\ наляво [\ полето] \), ако има номера \ (,, \ ldots ,, \) не са едновременно равни на нула, че идентичност \ [_1> \ наляво (т \ дясно) + _2> \ наляво (т \ дясно) + \ cdots + _n> \ наляво (т \ дясно) \ екв 0> \; \; \ Десния].> \] Ако се извършва тази идентичност само ако \ [= = \ cdots = = 0, \] вектор функция \ на (_ I> \ наляво (т \ дясно) \) казва, че е линейно независими за предварително определен интервал.
Всяка система \ (п \) линейно независими решения \ (_ 1> \ наляво (т \ полето), _ 2> \ наляво (т \ полето), \ ldots, _n> \ наляво (т \ дясно) \) се нарича основна система на разтвори ,
Квадратна матрица \ (\ Phi \ наляво (т \ полето), \) колони от които са оформени линейно независими решения \ (_ 1> \ наляво (т \ полето), _ 2> \ наляво (т \ полето), \ ldots, _n> \ наляво (т \ полето), \) се нарича основната матрица на системата. Тя изглежда така: \ [\ Phi \ наляво (т \ вдясно) = \ наляво (>> \ наляво (т \ вдясно) >> \ наляво (т \ дясно)> \ vdots > \ Left (т \ дясно)> \\> \ наляво (т \ вдясно) >> \ наляво (т \ дясно)> \ vdots > \ Наляво (т \ дясно)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ Cdots \\> \ наляво (т \ вдясно) >> \ наляво (т \ дясно)> \ vdots > \ Наляво (т \ дясно)> \ край> \ полето), \], където \ (> \ наляво (т \ дясно)> \) - координати на линейно независими векторни разтвори \ (_ 1> \ ляво (т \ полето), _2> \ наляво (т \ полето), \ ldots, _n> \ наляво (т \ дясно). \)
Имайте предвид, че основната матрица \ (\ Phi \ наляво (т \ дясно) \) не е дегенерат, т.е. за винаги има обратна матрица \ (> \ наляво (т \ дясно). \) Тъй като основното матрицата съдържа \ (п \) линейно независими решения, когато тя е заместена в хомогенна система от уравнения получат идентичността \ [\ Phi '\ наляво ( (. т \ дясно) \ Phi \ наляво (т \ дясно) \] Увеличаването това уравнение отдясно чрез обратна функция \ на (> \ наляво (т \ дясно) т \ дясно) \ екв A \ лявата: \) \ [> \ наляво (т \ дясно) \ екв A \ наляво (т \ дясно) \ Phi \ наляво (т \ дясно)> \ наляво (т \ полето),> \; \;> \ наляво (т \ дясно)> \. ] Тази връзка определя еднозначно хомогенна система от уравнения, дадени ако основната матрица.
Общият разтвор на хомогенна система се изразява по отношение на основната матрица като \ [_ 0> \ наляво (т \ дясно) = \ Phi \ наляво (т \ дясно) \ mathbf \], където \ (\ mathbf \) - \ (п \) - триизмерна вектор на случайни числа.
За да говорим за едно интересно специален случай на хомогенни системи. Оказва се, че ако продукт матрица \ на (A \ ляв (т \ вдясно) \) и на интеграл от тази матрица е комутативен. т.е. \ [A \ наляво (т \ дясно) \ cdot \ Int \ limits_a ^ т = \ Int \ limits_a ^ т \ cdot A \ наляво (т \ полето), \] основната матрица \ (\ Phi \ наляво (т \ дясно) \) на системата от уравнения има формата [\ Phi \ наляво (т \ дясно) = >>. \] \ имота държи симетрични матрици, и по-специално, в случай на диагонални матрици.
Wronskian и Liouville формула Ostrogradskii
В детерминанта на основното матрица \ (\ Phi \ наляво (т \ дясно) \) се нарича фактор Wronski или Wronskian вземане система \ (_ 1> \ наляво (т \ полето), _ 2> \ наляво (т \ полето), \ ldots, _n> \ наляво (т \ дясно): \) \ [_1>, _ 2> \ ldots, _n >> \ полето]> = >> \ наляво (т \ дясно) >> \ наляво (т \ дясно)> \ vdots > \ Left (т \ дясно)> \\> \ наляво (т \ вдясно) >> \ наляво (т \ дясно)> \ vdots > \ Наляво (т \ дясно)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ Cdots \\> \ наляво (т \ вдясно) >> \ наляво (т \ дясно)> \ vdots > \ Left (т \ дясно)> \ край> \ прав. |> \] Wronskians е полезно за проверка на линейна независимост на решенията. Прилагат се следните правила:Решения \ (_ 1> \ наляво (т \ полето), _ 2> \ наляво (т \ полето), \ ldots, _n> \ наляво (т \ дясно) \) на хомогенна система от уравнения са основната система, ако и само ако съответното Wronskian е нула в някакъв момент \ (т \) интервал \ (\ наляво [\ полето]. \)
Решения \ (_ 1> \ наляво (т \ полето), _ 2> \ наляво (т \ полето), \ ldots, _n> \ наляво (т \ дясно) \) са линейно зависими от интервал \ на (\ наляво [\ полето] \), ако и само ако Wronskian е идентично нула за този интервал.
За Wronskian вземане система \ (_ 1> \ наляво (т \ полето), _ 2> \ наляво (т \ полето), \ ldots, _n> \ наляво (т \ дясно) \) отговаря формула Liouville Ostrogradskii. \ [W \ наляво (т \ дясно) = \ наляво (\ дясно) г \ тау >>> \], където \ (\ наляво (\ дясно)> \) - следа матрица \ (\), т.е. сумата на всички диагонални елементи: \ [\ текст
Метод за промяна на параметрите (метод Lagrange)
Ние сега разгледаме нехомогенни системи, които са под формата на вектори на матрица могат да бъдат написани като \ [\ mathbf \ наляво (т \ дясно) = A \ наляво (т \ дясно) \ mathbf \ наляво (т \ дясно) + \ mathbf \ наляво ( т \ дясно). \] общата разтвор на тази система е сумата от общия разтвор \ (_ 0> \ наляво (т \ дясно) \), съответстващ хомогенни системи и частни решения \ (_ 1> \ наляво (т \ дясно) \) нехомогенни система, т.е. \ [\ Наляво (т \ дясно) = _0> \ наляво (т \ дясно) + _1> \ наляво (т \ дясно)> = + _1> \ наляво (т \ полето),> \], където \ (\ Phi \ наляво (т \ дясно) \) - основен матрица \ (\ mathbf \) - произволен цифров вектор.
Най-честият начин за справяне с разнородни системи е методът на изменение на параметрите (метод на Лагранж). С този метод, вместо постоянното вектор \ (\ mathbf \) считаме вектор \ (\ mathbf \ ляв (т \ вдясно), \), чиито компоненти са непрекъснато диференцируеми функции на независима променлива \ (т \) т.е. вярваме \ [\ mathbf \ наляво (т \ дясно) = \ Phi \ наляво (т \ дясно) \ mathbf \ наляво (т \ дясно). \] Заместването този израз в хетерогенна система, ние откриваме неизвестен вектор \ (\ mathbf \ лявата (т \ дясно): \) \ [\ изискват \ наляво (т \ дясно) = A \ наляво (т \ дясно) \ mathbf \ наляво (т \ дясно) + \ mathbf \ наляво (т \ полето),> \ ; \; \ Наляво (т \ дясно)> + \ Phi \ наляво (т \ дясно) \ mathbf \ наляво (т \ дясно)> = \ наляво (т \ дясно)> + \ mathbf \ наляво (т \ полето),> \ ; \; \ Наляво (т \ дясно) = \ mathbf \ наляво (т \ дясно).> \] Тъй като матрица \ (\ Phi \ наляво (т \ дясно) \) неособена матрица, умножим последната уравнението на ляво от \ (> \ лявата (т \ дясно): \) \ [> \ наляво (т \ дясно) \ Phi \ наляво (т \ дясно) \ mathbf \ наляво (т \ дясно) => \ наляво (т \ дясно) \ mathbf \ наляво ( т \ полето),> \; \; \ Наляво (т \ дясно) => наляво (т \ дясно) \ mathbf \ лявата \ (т \ дясно).> \] След интеграция получи вектор \ (\ mathbf \ наляво (т \ дясно). \)
Свързани статии