Пример 1. Y '' - Y '- 6 = 2x
Ще се търси Решението на уравнение под формата Y = д RX услугата чрез линейни диференциални уравнения. За това е характерна уравнение на линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти:
R 2 - R - 6 = 0
D = (-1) 1 - 2 • 4 • (-6) = 25
Корените на характеристика уравнение:
R1 = 3
R2 = -2
Следователно, функциите на основните системни включват:
Y1 = д 3x
Y2 = д -2x
Общият разтвор на хомогенна уравнение има формата:
Помислете за дясната ръка:
е (х) = 2x
Търсене за конкретно решение.
Линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти и дясна страна на формата:
R (х) = д # 945 х (Р (х) COS (# 946 х) + Q (х) грях (# 946 х)), където Р (х), Q (х) - са полиноми
Той има специално решение
у (х) = х к д # 945 х (R (х) COS (# 946 х) + С (х) грях (# 946 х))
където к - кратността на корена # 945 + # 946; и характерната полином съответстващ хомогенна уравнение, R (х), S (х) - полиноми да се определят степента на която е равна на максималната степен на полиноми Р (х), Q (х).
Тук, Р (х) = 2x, Q (х) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
Следователно, броят # 945; + # 946; I = 0 + 0I не е корен на характеристика уравнение.
Уравнението има специално разтвор на формата:
у * = Ах + B
Ние изчисли производни:
Y '= A
Y '' = 0
че заместител на оригиналния диференциално уравнение:
Y ' "-y" -6y = -А -6 (Ах + B) = 2x
или
-6Ax-A-6В = 2x
Приравняването на коефициентите на подобни правомощия на х, получаваме системата от уравнения:
-6А = 2
-1А -6B = 0
От първия ред се експресират = 2 / (- 6) = -1/3. който заместител на втория ред: трета = 6B
А = -1/3; В = 1/18;
Особеното разтвора е от вида:
у * = -1 / 3 х + 1/18
По този начин, общото решение на диференциално уравнение е от вида:
Решението е получил и се изпълнява с помощта на услугата:
диференциални уравнения
Пример 2. Y ' "-2y" + у = х-1
Това диференциално уравнение се отнася за линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Ще се търси Решението на уравнение във форма у = д RX на. За това е характерна уравнение на линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти:
2 г -2 R + 1 = 0
D = (-2) с 2 - 4 1 • • 1 = 0
Корените на характеристика уравнение:
Коренът на характеристика уравнението на R1 = 1 2 множество.
Следователно, функциите на основните системни включват:
Y1 = д х
Y2 = XE х
Общият разтвор на хомогенна уравнение има формата:
Помислете за дясната ръка:
е (х) = х-1
Търсене за конкретно решение.
Линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти и дясна страна на формата:
R (х) = д # 945 х (Р (х) COS (# 946 х) + Q (х) грях (# 946 х)), където Р (х), Q (х) - са полиноми
Той има специално решение
у (х) = х к д # 945 х (R (х) COS (# 946 х) + С (х) грях (# 946 х))
където к - кратността на корена # 945 + # 946; и характерната полином съответстващ хомогенна уравнение, R (х), S (х) - полиноми да се определят степента на която е равна на максималната степен на полиноми Р (х), Q (х).
Тук, Р (х) = х-1, Q (х) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
Следователно, броят # 945; + # 946; I = 0 + 0I не е корен на характеристика уравнение.
Уравнението има специално разтвор на формата:
у * = Ах + B
Ние изчисли производни:
Y '= A
Y '' = 0
че заместител на оригиналния диференциално уравнение:
Y '' -2y "+ у = 2а + (Ах + B) = х-1
или
А • х-2A + В = х-1
Приравняването на коефициентите на подобни правомощия на х, получаваме системата от уравнения:
А = 1
-2А + В = -1
Където: А = 1; B = 1;
Особеното разтвора е от вида:
у * = х + 1
По този начин, общото решение на диференциално уравнение е от вида:
Пример 3. Y '' + 6Y '+ 9y = 9х 2 + 12x-43
Това диференциално уравнение се отнася за линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Ще се търси Решението на уравнение във форма у = д RX на. За това е характерна уравнение на линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти:
R 2 6 R + 9 = 0
D = юни с 2 - 4 1 • • 0 = 9
Корените на характеристика уравнение:
Коренът на характеристика уравнението на R1 = -3 множество 2.
Следователно, функциите на основните системни включват:
Y1 = д -3x
Y2 = XE -3x
Общият разтвор на хомогенна уравнение има формата:
Помислете за дясната ръка:
е (х) = 9 2 • х + 12 • х-43
Търсене за конкретно решение.
Линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти и дясна страна на формата:
R (х) = д # 945 х (Р (х) COS (# 946 х) + Q (х) грях (# 946 х)), където Р (х), Q (х) - са полиноми
Той има специално решение
у (х) = х к д # 945 х (R (х) COS (# 946 х) + С (х) грях (# 946 х))
където к - кратността на корена # 945 + # 946; и характерната полином съответстващ хомогенна уравнение, R (х), S (х) - полиноми да се определят степента на която е равна на максималната степен на полиноми Р (х), Q (х).
Тук, Р (х) = 9 2 • х + 12 • х-43, Q (х) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
Следователно, броят # 945; + # 946; I = 0 + 0I не е корен на характеристика уравнение.
Уравнението има специално разтвор на формата:
у * = Ах 2 + Вх + C
Ние изчисли производни:
Y '= 2 • A • х + B
Y '' = 2 • А
че заместител на оригиналния диференциално уравнение:
Y '' + 6Y '+ 9y = 2 • A + 6 (2 • A • х + B) + 9 (Ах 2 + Вх + C) = 9 2 • х + 12 • х-43
или
9 • A • х 2 + 12 • A • х + 2 • A + B 9 • • х + 6 • B + 9 • С = 9 2 • х + 12 • х-43
Приравняването на коефициентите на подобни правомощия на х, получаваме системата от уравнения:
9А = 9
12А + 9В = 12
2А + 6В + = 9С -43
Решаването го по метода на Гаус. ние намираме:
А = 1; В = 0; С = -5;
Особеното разтвора е от вида:
у * = х 2 -5
По този начин, общото решение на диференциално уравнение е от вида:
Y = С1 д -3 х + С2 XE -3 х + х 2 -5
влизане Правила данни
Задайте своите въпроси или да направите предложения или коментари могат да бъдат долната част на страницата в раздела Disqus.
Можете също така да изпратите заявка за помощ при решаване на техните проблеми с нашите доверени партньори (тук или тук).
Свързани статии