Линейна зависимост и независимост на вектори.
Да - скаларно поле & F - основната си набор. Да - триизмерна аритметика пространство над - каквито и да било система космически вектори
ОПРЕДЕЛЯНЕ. Линейна комбинация на системата е сумата от формата къде. На Scalars се наричат коефициенти на линейна комбинация. Линейната комбинацията се нарича nontrivial ако поне един от неговите коефициент е различна от нула. Линейният комбинация се нарича тривиално, ако всичките му коефициенти са равни на нула.
ОПРЕДЕЛЯНЕ. Комплектът на всички линейни комбинации на векторите на системата се нарича линеен обхват на системата и е обозначен с. Линейният обхват на системата се счита за празен комплект, който се състои от вектора нула.
Така че, по дефиниция,
Лесно е да се види, че линейния диапазон на векторите на системата е затворена под допълнение вектор, изваждане и умножение на вектори на вектори от скалари.
ОПРЕДЕЛЯНЕ. Системата на вектори се нарича линейно независими, ако за всички скаларни равенства следват от равенство. Нека системата на вектори
Той се счита за линейно независими.
С други думи, краен система от вектори са линейно независими, ако и само ако всяка система nontrivial линейна комбинация на векторите не бъде равен на нула вектор.
ОПРЕДЕЛЯНЕ. Системата на вектори се нарича линейно зависим ако няма Scalars всички нула, така че
С други думи, крайната система на вектори е линейно зависим ако съществува nontrivial линейна комбинация на векторите на системата е равна на нула вектор.
наречена система единичен вектор на пространството вектор Тази система е линейно независими вектори на. В действителност, за който и да е скаларна на равенството между половете предполага и затова равенство
Помислете за свойствата на линейна зависимост и независимост на вектори.
ИМОТ 1.1. Векторна система, състояща се от нулев вектор е линейно зависим.
Доказателство. Ако системата вектор на един от векторите, например векторът нула, линейна комбинация на вектори на коефициентите, които са равни на нула, с изключение на коефициента на равен нула вектор. Следователно, тази система на вектори е линейно зависим.
СОБСТВЕНОСТ 1.2. Системата на вектори е линейно зависим ако някоя от нейните под-система е линейно зависим.
Доказателство. Да - зависи линейно подсистема на системата и най-малко един от коефициентите е различно от нула. Като има предвид, следователно, системата на вектори е линейно зависим.
Следствие. Всяка подсистема линейно независима система е линейно независими.
СОБСТВЕНОСТ 1.3. векторна система
която е линейно зависим единствено и само ако най-малко един от векторите е линейна комбинация от предходните вектори.
Доказателство. Нека система (1) са линейно зависими, и след това не са Scalars всички нула, такива, че
Ние означаваме с к-големият от номерата, които отговарят на условието Тогава (2) може да се запише като
Имайте предвид, че тъй като в противен така. От (3) следва,
Да предположим сега, че векторът е линейна комбинация от вектори това предходните, че е. Е. Тогава, т. Е. Подсистема система (1) е линейно зависим. Следователно, от собственост 1.2, линейно зависими, и оригиналната система (1).
ИМОТ 1.4. Ако системата е линейно независими вектори и векторна система
линейно зависим, тогава вектор V линейна комбинация на векторите
по уникален начин.
Доказателство. Според състоянието на системата (2) е линейно зависим, т.е.. Е. Има Scalars не всички нула, такива, че
По този начин, тъй като по това противоречи на линейна независимост на системата (1). От (3) следва,
По силата на линейната независимост на системата (1) следва, че
СОБСТВЕНОСТ 1.5. ако
Доказателство. Състояние означава, че съществуват скалари, че
Състояние означава, че има скалари, че
С оглед на (1) и (2) получаваме
Теорема 1.2. ако
системата на вектори е линейно зависим. Доказателство (чрез индукция на).
Ние приемаме, че вектори - различна от нула, тъй като в противен случай на теоремата е очевидна. Да предположим, че Тогава Следователно, системата на вектори е линейно зависим.
Да предположим, че теоремата е вярно и ние трябва да докаже, че притежава за. Нека т. Е.
Ако дясната страна (2) всички коефициенти на нула, тогава чрез индукция хипотезата, системата на вектори е линейно зависим, и следователно, линейно зависими и системата. Ако поне един от факторите за такова не е нула, тогава ние се премахнат вектора от първото уравнение. резултатът
Чрез индуциране хипотезата, (3) следва, че системата на вектори е линейно зависим. Следователно, има скалари не всички нула, такива, че
където Следователно, системата на вектори е линейно зависим.
Следствие 1.3. Ако има система от вектори е линейно зависим.
Следствие 1.4. Ако е така, а системата е линейно независими вектори, а след това.
Следствие 1.5. аритметика тримерно пространство вектор е линейно зависим от всеки вектор система, състояща се от или по-голям брой вектори.
Следствие 1.5 От теорема 1.2, тъй като всеки измерен вектор е линейна комбинация на векторите на единица
Свързани статии