кристалографски група

Bieberbach теорема

Две кристалографски групи се считат за еквивалентни, ако те са конюгат в групата на афинни трансформации на пространството Euclidean.

който и да е $п$ -триизмерна кристалографски група $\ Gamma$ Той съдържа $п$ линейно независими паралелни преводи; група $G$ линейна част на преобразуването (т.е. изображението $\ Gamma$ в $GL_n$ ) Е ограничен.
Две кристалографски групи са еквивалентни, ако и само ако те са изоморфни като абстрактни групи.
Във всеки $п$ има само краен брой $п$ -триизмерни кристалографски групи, считани до равностойност (които е решението на 18-ти проблем на Хилберт).

Теорема ни позволява да се даде следното описание на структурата на кристалографски групи като абстрактни групи: Да $L$ - набор от всички паралелни преводи, принадлежащи към групата кристалографски $\ Gamma$ . след това $L$ - нормална група от крайни индекс, изоморфни $\ Z ^ п$ и съвпада с неговата centralizer в $\ Gamma$ . Наличието на такъв нормална група на абстрактно група $\ Gamma$ и достатъчно условие е, че групата $\ Gamma$ изоморфни кристалографски група.

група $G$ линейните части на кристалографски групата $\ Gamma$ запазва баровете $L$ ; с други думи, въз основа на решетката $L$ преобразуване на $G$ написана от целочислени матрици.

брой групи

Броят на кристалографски групи $п$ -тримерно пространство с или без насочване последователности дадени A004029 и A006227. С до еквивалентност там

17 равнина кристалографски групи [1]
219 кристалографски пространство групи;
- Ако се вземат предвид космическите групи до свързване с помощта на афинни трансформации запазване ориентация. те ще бъдат 230.
Размерите 4 там 4894 кристалографски групи с опазване на ориентация или 4783 без спестяване ориентация [2] [3].

възможно симетрия

точки

симетрия елементи на крайни стойности, които оставят поне една фиксирана точка.

Всички възможни комбинации от точка симетрия елементи 10 водят до писана групи симетрия 2 тримерно пространство, и точка групи 32 в 3 тримерно пространство.

4-тримерното пространство, нов тип симетрия елементи - двойно въртене в две напълно перпендикулярни равнини. Благодарение на това увеличение в броя на симетрия елементи, които са съвместими с постъпателно симетрия. За пространства измерение 4 и 5 са възможни в точките на кристална симетрия с поръчките 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12. Освен това, тъй като въртенето на всеки от абсолютно перпендикулярни равнини могат да бъдат установени в различни посоки, там enantiomorphous двойка на точка симетрия елементи (например, двойно въртене на четвъртия ред, които са комбинирани, се оказва 90 ° в първата равнина и 90 ° във втора равнина енантиомерно двойно въртене на четвъртия ред, при което намотките се смесват при 90 ° в първа равнина и при -90 ° в секунда) , Всички възможни комбинации от точка симетрия елементи в четири тримерно пространство 227 води до 4-измерни точка групи, от които 44 са enantiomorphous (т.е. общо 271 превръща точка симетрия група).

6 двумерен и 7 триизмерни пространства в кристала могат да бъдат точкови симетрия елементи с поръчките 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 и 30 .. [5] Виж също ен: Кристалографски ограничение теорема

излъчвания

Кристалографски групи са винаги присъства превод - паралелни смени. Срязване, за които кристалната структура подравнява със себе си. Транслиращи симетрия на кристалната решетка се характеризира Брава. В 3-измерна случай всички възможни видове 14 кристална решетка. Размерите на 4, 5 и 6, броят на видовете кристална решетка е 64, 189 и 841, съответно [6]. От гледна точка на теорията на групите от групата на преводите е нормална Abelian подгрупа на пространството групата и групата пространство се разширява предавания podruppy. Коефициент на пространствена група на подгрупата на преводи е един от групата на точка.

Изискан операция симетрия

Ротации около осите с едновременно превод от вектор по посока на тази ос (винтова ос) и равнината на отражение по отношение на едновременното превода от вектор, успоредна на тази равнина (плъзгаща равнина на отражение). В международни символи винтови оста на определени от цифра, съответстваща на оста на въртене със стойност на индекса характеризиращи превода по оста, докато се върти. Възможна винтова ос в 3-измерна случай: 21 (въртене на 180 ° и изместен от 1/2 превод), 31 (завъртане на 120 ° и се компенсира от 1/3 превод), 32 (завъртане на 120 ° и се компенсира от 2 / 3 превод), 41 (за обръщане 90 ° и се компенсира от 1/4 превод), 42 (за обръщане 90 ° и се компенсира от 1/2 превод), 43 (90 ° ротация и транслация смяна на 3/4), 61 . 62. 63. 64. 65 (завъртане на 60 ° и изместен от 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6 и транслация, респективно). Оси 32. 43. 64. 65 и enantiomorphic оси 31. 62. 41. 61. и, съответно. Поради тези оси има 11 двойки енантиомерни пространство групи - във всяка двойка една група е огледален образ на другия.

Плъзгащият равнина на отражение се определят в зависимост от посоката на плъзгане по отношение на кристалните оси на клетката. Ако възникне приплъзване по една от осите, самолетът е означен със съответната римски писмо. В или С. В този случай, стойността на приплъзване винаги е равен на половината от превода. Ако приплъзване е насочено по диагонала на лицето или тялото диагонал на клетката, самолетът е обозначен с п в случай на равен обикновен половината диагонал или г в случай на плъзгане е една четвърт от диагонала (това е възможно само ако диагонала центриран). Самолет п и г са посочени klinoploskostyami. г понякога се нарича диамантени плоски равнини, защото те присъстват в структурата на диамант (Engl диамант -. диамант).

наименования

Кристалографски (пространствено) на групата с всички присъщи симетрия elemenatami на обобщени в международната директория "Международни кристалографски маси" (инж. Международните Маси за кристалография), продуциран от Международния съюз по кристалография. Използвала за номерация, дадени в настоящото ръководство. Групи са номерирани от 1 до 230 възходящ ред на симетрия.

Символизмът Херман - Mauguin

символ пространствена група символ съдържа кристална решетка (главна буква Р, А, В, С, I, R или F) и международната точка символ група. Символ кристална решетка показва наличието на допълнителни възли от мрежата в единичната клетка: P (примитивни) - примитивни клетки; A, B, C (A-центрирани, В-центрирани, C-центриран) - допълнителен възел в центъра на лицето А, В или С, съответно; I (I-центриран) - тяло- (допълнителен възел в центъра на клетката), R (R-центриран) - два пъти на каросерията (две допълнителни възли на главната диагонала на единица клетка), F (F-центриран) - лице в центъра (повече възли в центровете на всички изправен).

Международна точка символ група в общия случай е образуван от три символа, показващи симетрия елементи, съответстващи на три основни направления в кристал. Чрез симетрия елемент, съответстващ на посоката, се отнася до всяка една ос на симетрия, простираща се в тази посока, или перпендикулярно на нея равнина на симетрия или и двете, и друг (в този случай, те се записват чрез фракция, например, 2 / в - ос на симетрия с ред 2 и перпендикулярно на плъзгащата равнина на отражение с изместване в посока, в). Чрез разбиране на основните направления:

посоката на базисни векторите на клетката в случай на триклинен, моноклинна и орторомбична;
посока четвъртият ред посока оста на един от базисни векторите на основата на единица клетка и диагонална посока клетка в случай на база тетрагонална система;
ос посока на 3-ред или 6-реда, по посока на една от базисни вектори на базата на единица клетка и посоката на вектора на единица клетка на диагонала под ъгъл от 60 ° до предишното в случай на шестоъгълна система (тук също така включва триъгълна кристална система, която в този случай е ориентация на шестоъгълна единица клетка);
посока на една от базисни вектори, посоката на пространството диагонал на единица клетка и посоката на ъглополовящата на ъгъла между референтните вектори.

Hermann-Mauguin символи обикновено намаляват отстраняване нотация симетрия елементи липсват в някои области, където тя не създава неяснота, например, Р4 се записва вместо P411. Също така в отсъствието на двусмислени символи се намалиха двукратни оси, които са перпендикулярни на равнината на симетрия, например, замества С $\ Tfrac \ tfrac \ tfrac$ за $Cmmm$ .

символ Schoenflies

клас Schoenflies символ определя симетрия (основния характер и индексът) и редица условно група в рамките на този клас (горен).

CN - циклични групи - групи само с определена посока, представени чрез въртящи ос на симетрия, - идентифицирани от буквата С с нисш цифров индекс п. съответния ред на оста.

SNI - групи с единична ос инверсия симетрия придружени от индексът аз.
CNV (това от вертикална -. Вертикална) - също има симетрия равнина, простираща се по протежение на единствен или главен симетрия ос, която е винаги, че вертикално.
CNH (от хоризонталната -. Хоризонтална) - също има равнина на симетрия, перпендикулярна на главната ос на симетрия.

S2. S4. S6 (от немски Spiegel -. А огледало) - групи с ос огледалната симетрия.

Cs - за неопределен равнина ориентация, т.е. не е фиксирана, поради липсата на определени елементи на симетрия на група.

Dn - е група Cn с допълнителни п втората оси на симетрия, перпендикулярна на базовата ос.

Dnh - има хоризонтална равнина на симетрия.
DND (от своя диагонал -. Диагонала) - и има вертикална диагонал равнина на симетрия, които се движат между осите на симетрия на втория ред.

О, Т - симетрия група с много високи оси ред - група кубичен система. Означена с буквата О в случай, че те съдържат пълен набор от осмостенно оси на симетрия, или буквата Т, ако те съдържат пълен набор от оси на симетрия на тетраедър.

О и Th - също съдържа хоризонтална равнина на симетрия
Td - също включва диагонална равнина на симетрия

п може да бъде 1, 2, 3, 4, 6.

Произходът на теорията на кристалографски група, свързани с изучаването на модели на симетрия ( $п = 2$ ) И кристални структури ( $п = 3$ ). Класификация на всички равнинни (две триизмерни) и пространствени (триизмерни) кристалографски групи, независимо Fedorov е получено (1885), Schoenflies (1891) и Barlow (1894). Получени са основните резултати за многомерни кристалографски Bieberbach групи [8].