Косинус на сумата и разликата от два ъгъла
В този раздел, следните две формули се оказаха:
COS (α + β) = защото α защото β - SIN α грях β, (1)
COS (α - β) = защото α защото β + грях α грях β. (2)
Косинус на сумата (разлика) на два ъгъла е равна на произведението на косинуса на тези ъгли минус (плюс) продуктът на синуса на ъгъла.
Той е удобен да се започне с доказателството за формула (2). За простота, ние първо се предположи, че ъглите а и β да отговарят на следните условия:
1), всеки от тези ъгли е неотрицателно и по-малко от 2π:
Да приемем, че положителната част на 0x на ос е обща първичната страна ъгли α и β.
В последната част от тези ъгли са отбелязани с 0A и 0B. Очевидно е, че ъгълът α - Р може да се разглежда като ъгъл, който е необходимо да се върти гредата около точката 0V 0 стрелка своята посока съвпада с посоката на лъча 0A.
На лъчи 0A и 0B бележка точките М и N, на разстояние от произхода 0 на разстояние от 1, така че 0 М = 0N = 1.
Системата координира x0 точка М има координатите (COS α, грях α), точка N - координати (COS β β грях.). Ето защо, на квадрата на разстоянието между тях е:
2 d1 = (COS α - защото β) 2 + (син α - SIN β) 2 = защото 2 α - 2 защото а защото β +
+ COS 2 β + грях 2 α - 2sin алфа грях β + грях 2 β = 2 (1 - защото α защото β - SIN α грях β).
В изчисленията ние използвахме самоличността
грях 2 φ + защото 2 φ = 1.
Сега помисли друг V0S координатна система получена чрез завъртане на оста 0x и 0y около точка 0 на часовниковата стрелка от β ъгъл.
В тази координатна система точка М има координатите (COS (а - β), грях (α - β)), и координатите на точка N (1,0). Ето защо, на квадрата на разстоянието между тях е:
d2 2 = [COS (а - р) - 1] 2 + [грях (а - β) - 0] 2 = защото 2 (α - β) - 2 COS (α - β) + 1 +
+ грях 2 (α - β) = 2 [1- COS (α - β)].
Но разстоянието между М и N не е зависим от роднина координатна система, ние считаме тези точки. следователно
2 (1 - защото α защото β - SIN α грях β) = 2 [1- (COS а - β)].
Това предполага формула (2).
Сега трябва да се забравя тези две ограничения, които ние, наложени за простота по ъглите а и β.
Изискването, че всеки един от ъглите а и β неотрицателно всъщност не е от съществено значение. След всяка от тези ъгли могат да се добавят ъгъл пъти 2n, която не засяга валидността на формула (2). По подобен начин, всеки от тези ъгли може да се изважда ъгъл множествена 2π. Следователно, можем да предположим, че 0 <α <2π. 0 <β <2π .
Това не е от съществено значение и състоянието α> β. Всъщност, ако α <β. то β>α; Ето защо, като се има предвид паритета на функционални COS х. получаваме:
COS (α - β) = COS (β - α) = защото β защото α + β грях грях α,
че по същество съвпада с формула (2). По този начин, с формула
COS (α - β) = защото α защото β + грях α грях β
вярно за всички ъгли а и β. По-специално, замяната на Р да -р и като се има предвид, че палка на функция е още по-странно и функция Sinh, получаваме:
COS (α + β) = защото [α - (- β)] = COS алфа COS (-β) + грях α грях (-β) =
= Cos α защото β - SIN α грях β,
Това доказва с формула (1).
Така формули (1) и (2) са доказано.
1) COS 75 ° = COS (30 ° + 45 °) = COS 30 ° • COS 45 ° -sin 30 ° -sin 45 ° =
2) COS 15 ° = COS (45 ° - 30 °) = COS 45 ° • COS 30 ° + 45 ° грях • грях 30 ° =
1. Да се изчисли, без да използвате тригонометрични таблици:
а) COS 17 ° • COS 43 ° - SIN 17 ° • грях 43 °;
б) грях 3 ° • грях 42 ° - 39 ° защото • защото 42 °;
а) COS 29 ° • защото 74 ° + 29 ° грях • грях 74 °;
с) грях 97 ° • грях 37 ° + 37 ° COS • COS 97 °;
б). COS (36 ° + α) • COS (24 ° - α) + грях (36 ° + α) • грях (α - 24 °).
с) COS 2α + TG α • грях 2α.
а) COS (α - β). ако
90 ° <α <180°, 180° <β <270°;
4. Намиране на COS (a + β) и COS (а - β), ако е известно, че грях алфа 7/25 =. защото β = - 5/13, и двете ъгли (а и Р) прекрати по същия квадрант.
в). COS [arctg 1/2 + ARccOS (- 2)]
Свързани статии