\ (\ Blacktriangleright \) функция \ (е (х) \) се нарича увеличаване на интервала \ (X \). ако по някаква \ (x_1, x_2 \ в X \). такава, че \ (x_1

Това се нарича без намаляване функция на интервала \ (X \). ако по някаква \ (x_1, x_2 \ в X \). такава, че \ (x_1

\ (\ Blacktriangleright \) функция \ (е (х) \) се нарича намаляване на интервала \ (X \). ако по някаква \ (x_1, x_2 \ в X \). такава, че \ (x_1F (x_2) \).

Функцията се нарича без увеличаване на интервала \ (X \). ако по някаква \ (x_1, x_2 \ в X \). такава, че \ (x_1

\ (\ Blacktriangleright \) Увеличаване и намаляване на функция се нарича строго монотонно. и не по-голям и не-намаляваща - просто монотонен.

\ (\ Blacktriangleright \) Характеристиките включват:

I. Ако функция \ (е (х) \) - строго монотонно на \ (X \). след това равенство \ на (x_1 = x_2 \) (\ (x_1, x_2 \ в X \)), за да бъде \ (F (x_1) = F (x_2) \). и обратно.

Пример: функцията \ (е (х) = \ SQRT х \) е строго увеличаване на всички \ (х \ от [0 + \ infty) \). Така равенството \ (\ SQRT х = \ SQRT 4 \) трябва да бъде \ (х = 4 \).

II. Ако функция \ (е (х) \) - строго монотонно на \ (X \). след това уравнение \ (е (х) = C \). където \ (в \) - номер, който винаги има повече от едно решение на \ (X \).

Пример: функцията \ (е (х) = х ^ 2 \) е строго намаляване на всички \ (х \ в (- \ infty 0] \) и уравнение \ (х ^ 2 = 9 \) има на този интервал. не повече от един разтвор, а една: \ (х = -3 \).

функция \ (е (х) = - \ dfrac 1 \) е строго увеличаване на всички \ (х \ от (-1 + \ infty) \). така уравнението \ (- \ dfrac 1 = 0 \) е в този интервал е не повече от един разтвор, или по-скоро не, защото числител лявата част никога не може да бъде нула.

III. Ако функция \ (е (х) \) - без намаляване (без увеличаване) и непрекъснато на интервал \ на ([а, Ь] \). при което крайните точки отнема стойности \ (е (а) = A, F (б) = B \). след това за \ (С \ в [А; В] \) (\ (С \ в [B А] \)) уравнение \ (е (х) = C \) винаги има поне един разтвор.

Пример: функцията \ (е (х) = х ^ 3 \) е строго увеличаване (т.е., строго монотонна) и постоянен за всички \ (х \ в \ mathbb \). Въпреки това, за всяко \ (С \ в (- \ infty + \ infty) \) уравнение \ (х ^ 3 = С \) има точно един разтвор: \ (х = \ SQRT [3] \).

Прехвърлете всички условия, съдържащи \ (брадва \). ляво, и съдържащ \ (х ^ 2 \) - надясно и да се разгледат на функцията
\ [F (т) = 5 (т-2) ^ 3 + 15E ^ T + 6д ^ Т \ cdot \ грях + 3д ^ т \ cdot \ защото \]

След първоначалния уравнението става:
\ [F (ах) = F (х ^ 2) \]

Нека да намерим производната:
\ [F '(т) = 15 (т-2) ^ 2 + 15e ^ т \ cdot (1+ \ COS) \]

защото \ ((T-2) ^ 2 \ geqslant 0, \ д ^ т> 0, \ 1+ \ защото \ geqslant 0 \). на \ (F '(т) \ geqslant 0 \) за всяко \ (т \ в \ mathbb \).

Освен \ (F '(т) = 0 \). ако \ ((т-2) ^ 2 = 0 \) и \ (1+ \ защото = 0 \) в същото време, че не е изпълнено за всяко \ (т \). Следователно \ (F '(т)> 0 \) за всяко \ (т \ в \ mathbb \).

Така функция \ (е (т) \) строго увеличаване когато всички \ (т \ в \ mathbb \).

Така че, уравнение \ (F (ах) = F (х ^ 2) \) е еквивалентна на уравнение \ (брадва = х ^ 2 \).

Уравнение \ (х ^ 2-брадва = 0 \) когато \ (а = 0 \) има един корен \ (х = 0 \). и когато \ (а \ пе 0 \) има две различни корен \ (x_1 = 0 \) и \ (x_2 = а \).
Следователно, отговорът: \ (а \ в (- \ infty 0) \ чаша (0 + \ infty) \).

Гости Ниво: Raven УПОТРЕБА

Намерете всички стойности на параметъра \ (а \). във всеки от които уравнението \ [2 ^> \ cdot \ влизане _ >> + \ log_9 + 2)> = 0 \]

Тя има уникално решение.

Добавяне на работни места към любими

Да разгледаме функция \ (у = 2 ^ т \ cdot \ влизане _> \) когато \ (т \ geqslant 0 \) (както \ (\ SQRT \ geqslant 0 \)).

Производно \ (у '= \ наляво (-2 ^ т \ cdot \ log_9 \ дясно)' = - \ dfrac \ cdot \ наляво (\ LN 2 \ cdot \ LN + \ dfrac \ дясно) \).

защото \ (2 ^ т> 0, \ \ dfrac> 0, \ \ LN> 0 \) за всички \ (т \ geqslant 0 \). на \ (Y "<0\) при всех \(t\geqslant 0\).

Следователно, когато \ (т \ geqslant 0 \) функция \ (у \) намалява монотонно.

Уравнението може да се разглежда като \ (у (т) = у (Z) \). където \ (Z = брадва, т = \ SQRT \). От монотонността на функция, която равенство е възможно само ако \ (т = Z \).

Така че, уравнението е еквивалентно на уравнението: \ (брадва = \ SQRT \). което от своя страна е еквивалентен на системата: \ [\ започне ^ 2х ^ 2x-1 = 0 \\ брадва \ geqslant 0 \ край \]

Когато \ (а = 0 \), системата има едно решение \ (х = -1 \). който отговаря на състояние \ (брадва \ geqslant 0 \).

Да разгледаме случая на \ (а \ пе 0 \). дискриминантен първо уравнение \ на (D = 1 + 4а ^ 2> 0 \) за всички \ (а \). Следователно уравнението винаги има две корени \ (x_1 \) и \ (x_2 \). и те имат различни знаци (поради Теорема Vieta \ (x_1 \ cdot x_2 = - \ dfrac<0\) ).

Това означава, че ако \ (а<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0 \) състояние подходящ положителен корен. Следователно, системата винаги има уникално решение.

Така че, \ (а \ в \ mathbb \).

Да разгледаме функция \ (е (х) = 2x ^ 3-3x (ос + х-а ^ 2-1) -3 а-а ^ 3 \) на фиксирана \ (а \). Намираме негово производно: \ (F '(х) = 6x ^ 2-6ax-6x + 3а ^ 2 + 3 = 3 (х ^ 2-2ax + а ^ 2 + х ^ 2-2x + 1) = 3 (( Ха) ^ 2 + (х-1) ^ 2) \).

Имайте предвид, че \ (е '(х) \ geqslant 0 \) за всички стойности на \ (х \) и \ (а \). е равна на \ (0 \) само когато \ (х = а = 1 \). Но \ (а = 1 \):
\ (F '(х) = 6 (х-1) ^ 2 \ стрелкаНадясно е (х) = 2 (х-1) ^ 3 \ стрелкаНадясно \) уравнение \ (2 (х-1) ^ 3 = 0 \) Той има един корен \ (х = 1 \). не отговарят. Следователно \ (а \) не може да бъде равно на \ (1 \).

Следователно, за всички \ (а \ пе 1 \) функция \ (е (х) \) е строго увеличава, поради това уравнение \ (е (х) = 0 \) може да има най-много един корен. Като се има предвид свойствата на кубичен функция, график \ (е (х) \) на фиксирана \ (а \) е както следва:

Следователно, за които уравнението е основата на сегмент \ ([- 1, 0] \). трябва да бъде: \ [\ започне е (0) \ geqslant 0 \\ е (-1) \ leqslant 0 \ края \ стрелкаНадясно \ започне (а ^ 2 + 3) \ leqslant 0 \\ (а + 2) (а ^ 2 + с + 4) \ geqslant 0 \ края \ стрелкаНадясно \ започне \ leqslant 0 \\ а \ geqslant -2 \ край \ стрелкаНадясно -2 \ leqslant на \ leqslant 0 \]

По този начин, \ (а \ в [-2 0] \).

Гости Ниво: Raven УПОТРЕБА

Намерете всички стойности на параметъра \ (а \). във всеки от които уравнението \ [(\ грях ^ 2x-5 \ х грях-2а (\ грях х-3) 6) \ cdot (\ sqrt2a + 8x \ SQRT) = 0 \]

(Проблем абонати)

Добавяне на работни места към любими

ТСС уравнение: \ (2х-2х ^ 2 \ geqslant 0 \ четири \ Leftrightarrow \ четири х \ от [0, 1] \). Следователно, за които уравнението имаше корен, е необходимо най-малко една от уравнения \ [\ грях ^ 2x-5 \ грях х-2а (\ грях х-3) + 6 = 0 \ четири >> \ четири \ sqrt2a + 8x \ SQRT = 0 \] взе решение за DHS.

1) разглежда първото уравнение \ [\ грях ^ 2x-5 \ х грях-2а (\ грях х-3) + 6 = 0 \ четири \ Leftrightarrow \ четири \ наляво [\ започне \ започне \ Sin х = 2а + 2 \\ \ Sin х = 3 \\ \ край \ край \ прав. \ Quad \ Leftrightarrow \ четири \ грях х = 2а + 2 \] Това уравнение трябва да се основава на \ ([0; 1] \). Помислете за един кръг:

По този начин, ние виждаме, че за всяко \ (2а + 2 \ в [\ грях 0; \ грях 1] \), уравнението ще бъде едно решение, но за всички останали - няма да разтвори. Следователно, когато \ (а \ в \ ляво [1; -1+ \ грях 1 \ полето] \) се разтвори уравнение.

2) Да разгледаме второто уравнение \ [\ sqrt2a + 8x \ SQRT = 0 \ четири \ Leftrightarrow \ четири 8x \ SQRT = -а \]

Да разгледаме функция \ (е (х) = 8x \ SQRT \). Намираме негово производно: \ [F '(х) = - 4 \ cdot \ dfrac> \] На ТСС има една нула производно: \ (х = \ frac34 \). която също е точката на максимална функция \ (е (х) \).
Имайте предвид, че \ (е (0) = F (1) = 0 \). Така схематична графика \ (е (х) \) е както следва:

Следователно, за да уравнение има разтвори трябва да насрочи \ (е (х) \) пресича линията \ (у = -а \) (фигура показан един подходящ вариант). Това е, което трябва да се \ [0 \ leqslant -а \ leqslant е \ ляво (\ dfrac34 \ вдясно) \ четириядрен \ стрелкаНадясно \ четириядрен - \ dfrac2 \ leqslant на \ leqslant 0 \]

3) По този начин, първоначалното уравнението разтвори ако \ (а \ в \ ляво [1; -1+ \ грях 1 \ полето] \) или \ (а \ в \ наляво [- \ dfrac2 0 \ полето] \). Комбинирането на тези решения, ние получаваме \ [оставил \ в \ [- \ dfrac2. 0 \ прав] \]

Разглеждане на семейството на функции \ (f_a (х) = \ SQRT + 5x ^ 2-9x + 3а + 8 \ \ g_a (х) = \ dfrac \).

DHS уравнение: \ (х \ geqslant 1 \). При тези \ (х \):

функция \ The (y_1 = \ SQRT \), е строго увеличава. Графика на функция \ (y_2 = 5х ^ 2-9x \) е парабола чийто връх е в точка \ (х = \ dfrac \). Следователно, за всички \ (х \ geqslant 1 \) функция \ (y_2 \) също силно увеличава (десния клон на параболата). защото количество строго нарастваща функция е строго увеличава, след това \ (f_a (х) \) - е строго увеличаване (константа \ (3a + 8 \) не засяга функцията на монотонността).

Функция \ (g_a (х) = \ dfrac \) за всички \ (х \ geqslant 1 \) представлява част от десния клон на хиперболата и е строго намаляваща.

Решаване на уравнението \ (f_a (х) = g_a (х) \) - означава да се намери точката на пресичане на функции \ (\ е) и \ (г \). От тяхна противоположност монотонност, че уравнението може да има повече от един корен.

Когато \ (х \ geqslant 1 \) \ (f_a (х) \ geqslant 3а + 4 \ \ \ 0

\ [3а + 4 \ leqslant на ^ 2 \ стрелкаНадясно на \ в (- \ infty -1] \ чаша [4 + \ infty) \]