Предишен ◈ Следващото

Интуиционистки логика - класическата логика с аксиома на изключените от изключени средата. Той първоначално е бил разработен от Аренд Хейтинга за официална основа за теорията на intuitionism. Не идеята на истината интуиционистки логика работи с концепцията за трансформация тяхната проверяемост извършва на изрази. От практическа гледна точка, интуиционистки логика е изключително удобен за използване, тъй като тя е собственост на съществуване. така че можете да използвате тази логика като инструмент за други форми на математически конструктивизъм.

Синтаксис формули в интуиционистки логика е, подобно на синтаксиса на Пропозиционални логика или логика на първия ред. Разликата се състои в това, че много тавтологии на класическата логика не може да бъде доказано в рамките на интуиционистки логика. Примери, които могат да доведат не само на закона изключени трета (\ (P \ и \ отр P \)), но законът на Пиърс (\ (((Р \ стрелкаНадясно Q) \ стрелкаНадясно P) \ стрелкаНадясно P \)) и дори на закона отрицание на отрицанието в класическата логика, и двата израза \ (P \ стрелкаНадясно \ отр \ отр P \) и \ (\ отр \ отр P \ стрелкаНадясно P \) са теореми. В интуиционистки логика, само първият израз, е теорема: отрицание на отрицанието може да се показва, но не могат да бъдат отстранени.

Наблюдението, че много от класическите тавтологии не са теореми на интуиционистки логика подсказва, че доказателство системата на класическата логика е доста слаб.

Аксиоматиката [цитат]

Употреба правило за извод - модус поненс. Системата на аксиомите е следното:

  • ТОГАВА-1: \ (\ Фи \ стрелкаНадясно (\ чи \ стрелкаНадясно \ Фи) \)
  • ТОГАВА-2: \ ((\ Фи \ стрелкаНадясно (\ чи \ стрелкаНадясно \ ИОС)) \ стрелкаНадясно ((\ Фи \ стрелкаНадясно \ чи) \ стрелкаНадясно (\ Фи \ стрелкаНадясно \ ИОС)) \)
  • И-1: \ (\ Фи \ и \ чи \ стрелкаНадясно \ Фи \)
  • И-2: \ (\ Фи \ и \ чи \ стрелкаНадясно \ чи \)
  • И-3: \ (\ Фи \ стрелкаНадясно (\ чи \ стрелкаНадясно (\ Фи \ и \ чи)) \)
  • OR-1: \ (\ Фи \ стрелкаНадясно \ Фи \ чи \ или \)
  • OR-2: \ (\ чи \ стрелкаНадясно \ Фи \ или \ чи \)
  • OR-3: \ ((\ Фи \ стрелкаНадясно \ ИОС) \ стрелкаНадясно ((\ чи \ стрелкаНадясно \ ИОС) \ стрелкаНадясно (\ Фи \ или \ чи \ стрелкаНадясно \ ИОС)) \)
  • НЕ-1: \ ((\ Фи \ стрелкаНадясно \ чи) \ стрелкаНадясно ((\ Фи \ стрелкаНадясно \ отр \ чи) \ стрелкаНадясно \ отр \ Фи) \)
  • НЕ-2: \ (\ Фи \ стрелкаНадясно (\ отр \ Фи \ стрелкаНадясно \ чи) \)

За да се направи намалената система аксиоми, съвместими с логиката на първия ред сказуемото добавя правило на обобщаване и следващия набор от аксиоми:

  • ПРЕД-1: \ ((\ forall х Z (х)) \ стрелкаНадясно Z (т) \)
  • ПРЕД-2: \ (Z (т) \ стрелкаНадясно (\ forall х Z (х)) \)
  • ПРЕД-3: \ ((\ forall х (W \ стрелкаНадясно Z (х)) \ стрелкаНадясно (W \ стрелкаНадясно \ forall х Z (х)) \)
  • ПРЕД-4: \ ((\ forall х (Z (х) \ стрелкаНадясно W)) \ стрелкаНадясно (\ forall х Z (х) \ стрелкаНадясно W) \)

операции Взаимно opredeljaemost [правило]

В класическата Пропозиционални логика (Пропозиционални логика) е възможно да се конструират на базата на операции, които ще определят някои операции чрез друга. Например, три операции са основа Lukasiewicz - връзка. дизюнкция и отрицание. Освен това, съществува база, състояща се от една единствена операция, и тъй като тези операции могат да бъдат определени чрез такива odnooperatornye бази. Те включват, например, включват: логично нито (NOR - NOR) и Sheffer инсулт (NAND - не са I). Абсолютно също в класическа логика първи ред една от quantifiers може да бъде определена чрез друг от отрицание.

По-долу са основната формула, с които операции са определени чрез всеки друг. Всички тези формули са само булеви функции (поради двувалентно на закона). Но законът на двувалентно не работи в интуиционистки логика, тъй като тя прие последователност право. В резултат на това много от идентичността на класическата логика е логиката на интуиционистки теореми само в една посока на разследването (въпреки че някои остават равностойност теорема). Тези теореми:

  1. Съобщение връзка и дизюнкция:
    • \ ((\ Phi \ клин \ ИОС) \ да \ отр (\ отр \ Фи \ VEE \ отр \ ИОС) \)
    • \ ((\ Phi \ VEE \ ИОС) \ да \ отр (\ отр \ Фи \ клин \ отр \ ИОС) \)
    • \ ((\ Neg \ Фи \ VEE \ отр \ ИОС) \ да \ отр (\ Фи \ клин \ ИОС) \)
    • \ ((\ Neg \ Фи \ клин \ отр \ ИОС) \ leftrightarrow \ отр (\ Фи \ VEE \ ИОС) \)
  2. Съобщение връзка и косвено:
    • \ ((\ Phi \ клин \ ИОС) \ да \ отр (\ Фи \ да \ отр \ ИОС) \)
    • \ ((\ Phi \ да \ ИОС) \ да \ отр (\ Фи \ клин \ отр \ ИОС) \)
    • \ ((\ Phi \ клин \ отр \ ИОС) \ да \ отр (\ Фи \ да \ ИОС) \)
    • \ ((\ Phi \ да \ отр \ ИОС) \ leftrightarrow \ отр (\ Фи \ клин \ ИОС) \)
  3. Съобщение разединяване и косвено:
    • \ ((\ Phi \ VEE \ ИОС) \ на (\ отр \ Фи \ да \ ИОС) \)
    • \ ((\ Neg \ Фи \ VEE \ ИОС) \ на (\ Фи \ да \ ИОС) \)
    • \ (\ Neg (\ Фи \ да \ ИОС) \ да \ отр (\ отр \ Фи \ VEE \ ИОС) \)
    • \ (\ Neg (\ Фи \ VEE \ ИОС) \ leftrightarrow \ отр (\ отр \ Фи \ до \ ИОС) \)
  4. Съобщение универсални quantifiers и съществуване:
    • \ ((\ Forall х \ \ Фи (х)) \ да \ отр (\ съществува х \ \ отр \ Фи (х)) \)
    • \ ((\ Съществуват х \ \ Фи (х)) \ да \ отр (\ forall х \ \ отр \ Фи (х)) \)
    • \ ((\ Съществуват х \ \ отр \ Фи (х)) \ да \ отр (\ forall х \ \ Фи (х)) \)
    • \ ((\ Forall х \ \ отр \ Фи (х)) \ leftrightarrow \ отр (\ съществува х \ \ Фи (х)) \)

Следните примери могат да се считат за обяснение. В изявление интуиционистки логика «А или Б» е по-силна от отчета ", ако не е, тогава б», както следва от първата секунда, но не и обратно (в класическата логика тези твърдения са идентични). От друга страна, твърдението, че "не (а и б)» е равнозначно да се каже "не, или б», тъй като всеки един от тях може да са резултат от другия.

Смятане последици [цитат]

Герхард Gentz ​​установено, че наличието на прост ограничение в неговата система \ (ЛК \) (а смятане на последствията за класическа логика) води до факта, че системата е пълна по отношение на интуиционистки логика. Той нарече тази нова система ограничава как \ (ЗСВ \).

Семантиката на интуиционистки логика е по-сложна, отколкото при класическата логика. Теоретичният модел може да бъде описан с помощта Хейтинга алгебра нотация или еквивалент Крипке семантиката.

Семантиката Хейтинга алгебра [правило]

В класическата логика, истината стойности често са обсъждани. който може да приеме променливи. Тези стойности обикновено са избрани от множество от стойности булева алгебра азбуката. връзка и операцията дизюнкция са означени в булева алгебра \ (\ и \) и \ (\ или \), съответно, така че формулата \ (А \ и Б \) представлява дизюнкцията на две истината стойности (\ (А \) и \ (B \)) в Булева алгебра. В този случай, там е теорема, която гласи, че формулата е вярна в класическата логика, ако и само ако стойността му е равна на \ (1 \) за някаква истина стойности на своите член-променливи.

Съответните теорема държи в интуиционистки логика, но вместо това той използва стойностите на Булева алгебра ценности Хейтинга алгебра. за които Булева алгебра е специален случай. Формулата е вярна в интуиционистки логика, ако и само ако тя се връща в горния елемент на алгебра Хейтинга за някаква истина стойности на своите член-променливи.

Може да се покаже, че с цел да се докаже достоверността на формулата, достатъчна за Хейтинга прост алгебра, чиито елементи са комплекти за прост равнина \ (R ^ 2 \). В този алгебра операции \ (\ и \) и \ (\ или \) съответства на пресичане и обединението на комплектите и формули стойност \ (А \ стрелкаНадясно B \) е израз \ ((А ^ С \ капачка В) ^ \), което означава, че точката на пресичане на вътрешността на \ (B \) и комплемента на \ (а \). В долния елемент е празен комплект, горната - вселената \ (R ^ 2 \). Отрицание обикновено се определя като \ (\ отр A \ екв A \ стрелкаНадясно \ празен \), следователно, отрицание се редуцира до експресия \ (А ^ \) е вътрешността на комплемента на \ (А \).

Например, формулата \ (\ отр (А \ и \ отр А) \) е правилна, защото без значение кой набор е избран като стойността на набор \ (А \), стойността на тази формула е цялата двумерен равнина: $$ стойност (\ отр (A \ и \ отр A)) = $$ $$ (Value (A \ и \ отр A)) ^ = $$ $$ (стойност (а) \ капачка стойност (\ отр A)) ^ = $$ $ $ (X \ капачка (Value (A)) ^) ^ = $$ $$ (X \ капачка X ^) ^ $$

Теорема топология казва, че \ (X ^ \) е подгрупа на \ (X ^ С \), така че точката на пресичане на празен: $$ \ празен ^ = (R ^ 2) ^ = R ^ 2 $$

По този начин формулата е тавтология за всички стойности на истината за своите член-променливи.

Също така, може да се докаже, че правото на изключени средата не е наред в интуиционистки логика. За да направите това, стойността на термина \ (A \) трябва да направите много \ (\ 0 \> \). В този случай, отрицание стойност \ на (\ отр A \) е вътрешността на \ (\\), Има \ (\\). Стойността на формула \ (A \ или \ отр A \) (изключената средна закона), т.е. стойността на комбиниране на набора \ (\ 0 \> \) и \ (\\), Има \ (\\). На свой ред, последният израз не е същото като цялата равнина \ (R ^ 2 \).

Описаната по-горе безкраен алгебра Хейтинга позволява да се провери коректността на всички логически формули в интуиционистки значение коя истина стойности са определени променливи във формулите. Обратно, за неправилна формула има позоваване променлива стойност вярно формула, което води до погрешно тълкуване на тази формула. Можете също така да се покаже, че нито един от крайните алгебра Хейтинга има този имот.

Крипке семантиката [цитат]

Въз основа на своите семантиката на модален логика Сол Крипке създадени още семантиката за интуиционистки логика, известен с името си - "Крипке семантиката" или "относителни семантиката" [1].

Свързани статии

Подкрепете проекта - споделете линка, благодаря!