Нека подинтегрален е рационален фракция, където - полиноми (полиноми) градуса к и п, съответно. Без ограничение на общността можем да предположим, че к примери Препоръчваме също така възможност за решаване на интеграли онлайн.
и интеграл от полином R (х), ние знаем как да се изчисли. Ние показваме пример как е възможно да се получи разширение (1.1). нека
Р (х) = х + 7 3x + 3x 5 6 - 3x3 + 4x2 + х -2, Q (х) = х 3 + 2 + 3 х х-2. Разделете полином P (х) от полином Q (х), точно както ние разделяме реални числа (решение получаваме чрез разделение калкулатор). имаме
По този начин, ние са получили цялата част от фракция на (Р коефициент на полином деление от полином Q) R (х) = х 2 + 2х 4 - 4x + 7 и остатък S (х) = 9х 2 - 14ч 12 от този участък.
Между основните теорема на алгебра [6] всяка полином може да бъде разложен на основните фактори, което е представено под формата където - корените на полином Q (х) повтарят многократно им разнообразие.
Нека полином Q (х) има п различни корени. След подходящо рационално фракция може да бъде представен като, където - да се определи броя. Ако - корен на множество # 945; и след това го в разширяването на частични фракции съответстващ # 945; термини. Ако XJ - комплексен корен от кратност с реални коефициенти, комплекс конюгат - също корен от кратност # 945; този полином. За да не трябва да се справят с комплексни числа в интегрирането на рационални фракции, условията в разширяването на правилното рационално фракция, съответстваща на двойки сложни конюгат корени, комбинирани и се записва един срок на формата, ако - корените на множество един. Ако - множеството на корените, че те съответстват на условията и съответните разлагане е на формата
Следователно, правилното интегриране на рационални фракции се редуцира до интегрирането на частични фракции от които са дадени, може да се намери от формула рекурсия, която се получава чрез интегриране по части. Интеграли, в случаите, когато знаменателят има комплексни корени (решаващи) са намалени с разпределение на точен квадрат, до подмяната на интеграли.
Един от начините за намиране на коефициентите АЙ. Mj. Nj в разширяването на правилното рационално фракция е в непосредствена близост. В дясната част на тази експанзия с неопределен коефициенти Ай. Mj. Ню Джърси доведе до общ знаменател. Тъй като в знаменателя на дясна и лява страна са равни, трябва да бъде равна и числителите, които са полиноми. Приравняването на коефициентите на същите правомощия на х (от полиномите са равни, ако коефициентите са същите правомощия на х), получаваме система от линейни уравнения за определяне на тези коефициенти.
1. Find.
Корените на знаменател - Х1 = -2 мултиплетност 1 и Х2 = 1 множество 2. Следователно х 3 - 3x + 2 = (х + 2) (х1) и 2 функция подинтегрален може да бъде представена като
Което води до общ знаменател, получаваме
Приравняването на коефициентите на подобни правомощия на х в числителя на дясна и лява страна на миналия отношението, ние получаваме
Решаването на тази система, ние откриваме.
По този начин,
2. Find.
Корените на знаменател - Х1 = 2 множество една и две комплекс x2,3 корена, = -1 ± аз. Следователно х 3 - 2х - 4 = (х-2), (х 2 + 2х + 2), и функцията подинтегрален може да бъде представена като
Което води до общ знаменател, получаваме
Приравняването на коефициентите на подобни правомощия на х в числителя на дясна и лява страна на миналия отношението, ние получаваме
Решаването на тази система, ние откриваме, че А = 1, М = 1, N = 2.
По този начин,