Предмет на изучаване на класически. хомотопия теория. Изчисляване на С, във времето (особено през 50-те години.) Се разглежда като един от основните проблеми на топологията. Топология се надява, че тези групи ще бъдат в състояние напълно да се изчисли и че те могат да бъдат използвани за решаване на друга класификация хомотопия. задача. Тези надежди не са били изпълнени в основната: SG е в състояние да изчисли само частично, както и с развитието на теорията на генерализирана Cohomology задача на изчисляването им е станала по-малко значение. Въпреки натрупаната информация за тези групи не са били напразни, тя намери приложението, където те не са очаквали, особено в диференциалната топология (класификация на диференциални структури на сфери и мулти-възел). I. Обща теория. 1) Ако азп = 1, след това 2) (Brauer теорема -Xopfa); Това изоморфизъм отнася елемент групи, представляващи неговата степен на дисплей 3) групи имат ранг 1; Други групи са ограничени. суспензия homomorphism отнася елемент група представлява сфероид клас сфероид определя по формулата 4) е homomorphism E изоморфизъм за I> 2п-1 и epimorphic Така, при всяко kgruppy може да се състои в последователност в (К + 2) то срок за рояк стабилизация настъпва; група се нарича. к-ystabilnoy С., градът и маркирани Така за к<0 и Как и в гомотопических группах любого топологич. пространства, в С. г. г. определено умножение Уайтхеда: К обычным его свойствам (дистрибутивность, косая коммутативность, тождество Якоби) добавляется 5) Умножение Уайтхеда позволяет сделать следующее уточнение к 4): 6) ядро эпиморфизма порождается классом [in, in],где in — каноническая образующая группы (представляемая тождественным cфероидом). С умножением Уайтхеда тесно связан Хопфа инвариант определенный для Так, элемент группы представляемый отображением Хопфа действующим по формуле h(z1, z2)=z1. z2 (в к-рой S3 интерпретируется как единичная сфера пространства а S2 — как имеет инвариант Хопфа, равный 1. 7) Отображение есть изоморфизм. 8) Следствием 8) является бесконечность групп уже утверждавшаяся в 3). 9) При отсутствуют элементы с нечетным инвариантом Хопфа (как было известно задолго до доказательства этой теоремы, ее утверждение равносильно следующей гипотезе Фробениуса: отсутствует билинейное умножение с однозначным делением на ненулевые элементы). Специфическим для сфер является композиционное умножение определяемое при помощи компонирования представляющих отображений. 10) Для любых имеет место: лЛевый закон дистрибутивности
