?-функция - генерализирана функция е формално определя като непрекъснат линеен функционален в пространството на диференцируеми функции. функция не е функция в класическия смисъл на думата.
Въведен от британския физик Дирак. Тя позволява запис пространствена плътност на физическото количество (маса, заряд, интензивността на източника на топлина и така сила. П.) Or концентрира в една точка приложен. Например, плътността на точка маса m, точка, разположена в пространството Euclidean. Тя е написана с помощта на функцията-под формата.
?-функция се определя от отношението формално
за който и да е непрекъсната функция.
За делта функция на една променлива следните равенства на са верни:
В много случаи, най-удобно е представяне на функцията делта:
Помислете за интеграл
който може да се тълкува като ограничение
С (3) за всяко равенство:
Може да се покаже, че с неограничен растеж са правилни всички свойства на функцията делта и функцията (2) се отнася до; Това води до извода, че:
.
Основният израз, който описва производно на функцията делта. (X):
.
Заместването. Получаваме израза:
.
След трансформация, имаме:
.
Тъй като. Крайният експресията
.
Като цяло, изразът за производно на функцията делта е написано, както следва:
.
За производната на функцията за делта имаме следните самоличността:
;
;
.
Преди координати х (у) =. (T) може да се прилага преобразуване на Фурие:
резултатът е, че спектър функция е постоянна :? (?) F = 1.
Доказано е, че производното на функцията Heaviside е функция делта. Т.е. функция е показано по-горе функции:
.
Ето защо, чрез прилагане на преобразуване на Фурие за делта функция
.
Получаваме път под формата на:
.
В двумерен пространство:
;
.
В полярни координати:
.
В триизмерното пространство:
;
.
В цилиндрична система:
.
В сферичната координатна система:
.
моментално ускорение
Един пример за прилагането на делта функцията на Дирак е проблемът на сблъсъка на две тела. Ако от друга въздействието се спуска, и двете тела се ускорението и скоростта. Как да изчислим ускорението придобити от тялото? Ние построи графика на скоростта на времето. Графиката ще има форма, показана в горната снимката в дясно. В долната фигура е графика на функцията делта с единица амплитуда, отразява настоящото тялото скорост процес набиране.
Като се има предвид факта, че моделът се счита в евклидово пространство, ние можем да напишете следното уравнение:
Функция на Грийн
Други примери на функцията делта се използва в математическата физика при решаване на проблеми, които включват стойността фокусирани. В функциите на вълната на квази-класически са локализирани в функцията делта, и техните центрове на концентрация се движат по класически траектории на Нютоновите уравнения. Чрез функцията делта, и запис функции на оператора на демаркационната линия на L, в качеството на разпределения през колектор М в точката х 0. Уравнението е от формата.
където - Лаплас оператор.
Важно е да се отбележи, по следната формула
.
Този израз означава, че се държи като функция делта. Този факт се използва за да докаже, че изразът за скаларната потенциал:
удовлетворява уравнението на Поасон:
.
По този начин, функцията за делта е мощен математически инструмент за описване на сложни физически процеси.
Свързани статии