Методът на "итерирания функционални системи" (повтори функции на системата - IFS) се появява в средата на 80-като просто средство за получаване на фрактални структури.
IFS е набор от функции от определен клас, показвайки много измерения набор от други функции. Най-простият IFS състои от афинни трансформации на равнината:
X '= A * X + B * Y + C
Y '= D * X + E * Y + F
Affine Трансформация - съставът на линейна трансформация и паралелно превод. В двумерен пространство за пълно представяне на афинно преобразуване е достатъчно да зададени 6 коефициенти.
През 1988 г. известният американски експерт в динамичната теория на системите и Ergodic теория Барнзли и Слоун предложи някои идеи, въз основа на съображения, свързани с динамичната теория на системи, за компресиране и съхраняване на информацията на изображението. Те призоваха техния метод е методът на фракталната информация за компресиране на изображения. Произходът на името, свързано с факта, че геометричните образи, възникващи в този метод обикновено имат фрактал характер, в смисъл на Манделброт.
Въз основа на тези идеи, Барнзли и Слоун създаден алгоритъм, който те твърдят, ще позволи да изтръгне информация 500-1000 пъти. Накратко, методът може да бъде описан, както следва. Изображение кодиран няколко прости трансформации (в този случай афинни), т.е. Тази трансформация коефициенти (в този случай А, В, С, D, Е, F).
Например, кодира определено изображение на две афинни трансформации, ние еднозначно го определят като се използва 12 фактори. Ако сега се задава начална точка (например X = 0 Y = 0) и да започне процеса на повторение, след първата итерация, ние получаваме две точки след втория - четири, след третия - осем, и т.н. Няколко десетки повторения, определени от информационни точки ще описват кодиран образ. Но проблемът е, че е много трудно да се намери IFS коефициенти, които кодират една произволно изображение.
За изграждането на ИС се използват освен афинни и други класове на прости геометрични трансформации, които са настроени по-малък брой параметри. Например, проективна:
X '= (А1 * X + Y + В1 * С1) / (D1 * X + Y Е1 * + F1)
Y '= (А2 * X + B2 * Y + С2) / (D2 * X + Y + Е2 * F2)
X '= А1 * X * X + В1 * X * Y + С1 * Y * Y + D1 * X + Y Е1 * + F1
Y '= А2 * X * X + B2 * X * Y + С2 * Y * Y + D2 * X + Е2 * Y + F2
трансформация в равнината.
Като пример, използването на IFS фрактални структури да се изгради, помисли кривата на Koch (Фигура 1) и "дракон" Harter-Heituey (Фиг.2). Различаваме тези структури като части, а за всеки един от тях да изчисли коефициентите на преобразувания. В афинния колаж той ще бъде включен като афинни трансформации, тъй като има части като цялото изображение.
Фигура 7. Получаване за изграждане на "дракона" IFS Harter-Heituey.
IFS за изграждане на "дракон" Хартър-Heituey. За да се осигури това първо поколение на фрактален мрежа координира дисплей 640 х 350 (фиг.7). Ние означават точката на получената прекъсната линия А. Б. В. Съгласно правилата на строителство, това фрактални две части, като цяло - на фигура 5 е счупен ADB и ВЕС. Знаейки, координатите на краищата на тези сегменти, то е възможно да се изчисли коефициентите на две афинни трансформации, които прекъснатата линия ABC в ADB и BEC.
X '= -0.5 * X * Y -0,5 + 490
Y '= 0,5 * X * Y -0,5 + 120
X '= 0,5 * X * Y -0,5 + 340
Y '= 0,5 * X + 0.5 * Y - 110
Предвид първоначална отправна точка (например X = 0 Y = 0) и действа върху него итеративно това IFS, след десетия итерация на екрана получи фрактален структурата, показана на фигура 8, която представлява "Dragon" Harter-Heituey. Неговият код (компресиран описание) е набор от коефициенти на две афинни трансформации.
Фигура 8. "Dragon" Harter-Heituey, postpoenny използване IFS в ppyamougolnike 640x350.
По същия начин, може да се конструира крива на IFS Koch. Лесно е да се види, че кривата състои от четири части, подобно на цялата крива. За ИС отново организира първото поколение на фрактален мрежа координира дисплей 640 х 350 (Фиг.9).
Фигура 9: Получаване на изграждане на IFS горене Koch.
За изграждането му изисква набор от афинни трансформации, състоящ се от четири трансформации:
X '= 0.333 * X + 13,333
Y '= 0.333 * Y + 200
X '= 0.333 * X + 413.333
Y '= 0.333 * Y + 200
X '= 0.167 * X + 0.289 * Y + 130ш' = -0.289 * X + 0.167 * Y + 256
X '= 0.167 * X - 0.289 * Y + 403 Y' = 0.289 * X + 0.167 * Y + 71
Ефектът от това афинно колаж след десетия итерация може да се види на Фигура 10.
Фигура 10. горене Koch postpoennaya използване IFS в ppyamougolnike 640x350.
Използването на IFS компресия обикновени изображения (като снимки) се основава на определянето на местното самоуправление, сходство, за разлика от фрактали, където има глобален полусходство и намирането на IFS не е твърде трудно (ние едва сега се вижда това). Чрез Barnsley алгоритъм се освобождава в областите на изображението на пара, по-малка от които е подобен на все повече и повече коефициенти запазване кодираща трансформация, която се голяма площ по-малка. Това изисква, че множество от "малки" област, която обхваща цялото изображение. В този случай, изображения на файловете, кодиращ се записват не само факторите, които характеризират резултатите от конвертирането, но и местоположението на линейните размери на "големите" области, които заедно с коефициентите ще бъдат описани от местното самоуправление, сходството на кодиран образ. Регенериращ алгоритъм в този случай трябва да се прилага всяка трансформация не целия набор от точки, получени в предишния етап на алгоритъма, и до известна част от тях, която принадлежи към областта, съответстваща на приложимата трансформация.
Един от най-ярките примери сред различни системи итерирания Руй функции е несъмнено отворен М. Barnsley siste- ma четири натиск афинни трансформации атрактор, за който набор от точки, е поразително напомня на формата на изображението папрат листа. Тя може да бъде представена в следната таблица
Всеки ред на таблицата съответства на един афинно преобразуване с коефициентите а, Ь. C, D. Е, F в съответствие с експресия
Последната колона показва вероятност р. при който метод случаен повторение е избран конкретен трансформира.
В резултат на тази система функции на първоначална оценка за различен брой повторения е показано на фиг. 1.43. Тя може да се разглежда като ръст в броя на повторенията е наистина
има все по-ясна картина папрат листа, изненадващо напомня на съществуваща инсталация в природата.
Този набор от точки е безкрайна самостоятелно подобен, както се очакваше всеки фрактал. Както се вижда от фиг. 11, се увеличава на малки фрагменти от изображения, подобни на цялото. За да разрешите тези фрагменти е необходимо само, че броят на повторенията е достатъчно голяма.
По този начин, по-използва резолюцията, толкова повече точки, което трябва да се направи в паметта на компютъра, за да се изгради подходяща изображение. От друга страна, да запомняте не са необходими координатите на тези точки, тъй като всеки път, когато те могат да бъдат повторно получена чрез използване на система от функции, дефинирани в таблицата
Фиг. 11. разширения фрагмент папрат листа
В резултат на това общо 28 номера да съдържа цялата необходима информация, за това не е тривиален фигура! Има идея, както и дали такъв начин, не може да бъде "кодирани" и други изображения. Тази идея се приложи на практика, ще даде възможност за компресиране на снимката-нето в десетки или дори стотици пъти. И наистина през 1988 г. е било успешно в Барнсли и Слоун Съвместими смартфони, създадени от тях, но за кодиране и компресиране на графична информация с помощта на компанията подходящо избрана функции на системата.
За да генерирате фрактални модели могат да пишат програма алгоритъм в Pascal, BASIC и други езици за програмиране. Има множество литература разгледани в подробности където написване на програма, алгоритъм за генериране на фрактали, например, R. М. Kronover "хаоса и Фрактали в динамични системи. Основи на теорията ", в съдържанието обсъдени теорията на фракталите, както и примери за написването на програма за генериране на фрактали. Но днес има голям брой вече написани програми генерират фрактални изображения. Помислете за един от тях е Fractal Explorer версия 2.02.
Fractal Explorer при стартиране се появява празна кутия, на върха е лентата с инструменти.
В ляво е активен шест икони. Първите пет за генериране на нови, а шести, за да отворите предварително записан. Например натискането на първата икона започва генерирани фрактал на Манделброт, и се генерира в реално време. В менюто на размера, можете да промените разделителната способност за фракталната изображение. По подразбиране 300 х 300, от посочения списък на разрешения, можете да добавяте или изваждате. Тъй като резолюцията е генерирала фрактал-дълго, отколкото преди, тъй като компютрите стават все по-трудни за изчисляване на фракталната повече точки. Когато кликнете два пъти върху левия бутон на мишката се увеличава фрактал, но тя ще става все по-голям и се изчислява наново. След генерирани фрактален могат да променят параметрите nektorye фрактален поколение. Чрез натискане се появява прозорец,
където можете да промените повтарящия формула, броя на повторенията, функционира параметри, както и много други настройки.
Можете също така да се изгради система повтори функции, което е фрактал папрат. По подразбиране, за да се изгради този фрактал на стойност 100 повторения. Ако папрат листа започне да се увеличава, а след това, когато една сравнително малко увеличение може да се види, той се състои от точки. При смяна на 100 повторения при 5000, увеличена част от папрат листа вече се състои от множество папрат листа.
В края на описанието на програмата Fractal Explorer, може да се каже, че е много интересно да се види как тогава изтеглена фрактал, палитра той е боядисан. Силно желаният фрактал, можете да запишете или печат.
Може би на нови идеи на фракталната геометрия в бъдеще ще ни помогнат да се проучат много загадъчни явления на природата.
В момента, фрактали и multifractals бързо завладяват много области на физиката. Fractal методи за обработка на изображения и разпознаване на образи, като се използват нови концепции позволяват на изследователите да кандидатстват математическия апарат за количествен описанието на огромното количество природни обекти и структури.
Свързани статии