Точка се нарича локален максимум, ако съществува квартал на този етап, че всички от този квартал следното неравенство :.
Точка се нарича локален минимум на функцията, ако има квартал на този етап, че всички от този квартал.
Стойността на функция на максималната точка се нарича локален максимум. стойност на функцията на минимума - местен минимум на функцията. Местна максималната и минималната на функция се наричат местните крайности.
Точка се нарича строг локален максимум, ако всички близост до този момент ще бъде строго неравенство.
Точка се нарича строг локален минимум на функцията, ако всички от квартала, на този етап ще бъде строго неравенство.
Максимална или минимална стойност на функция на интервал се нарича глобална връх.
Global екстремум може да се постигне или в местен екстремум пункта, или в крайните точки.
Необходимо условие за екстремум
(Необходимо условие за екстремум)
Ако функцията има екстремум в точката, след неговото производно е или нула или не съществува.
Точките, в които производното е нула: се наричат стационарни точки на функцията.
Точките, в които е необходимо условие за екстремум на функция с постоянно действие, наречени критични точки на тази функция. Това е критичната точка - това е или стационарни точки (разтвори на уравнението), или точките, в които не съществуват производно.
Не на всеки важен пункт на функцията непременно има максимална или минимална.
Първият е достатъчно условие за екстремум
(Първият достатъчно условие за екстремум)
Да предположим, че са изпълнени за функцията на следните условия:
- е непрекъсната в близост до точката;
- или не съществува;
- дериватив, когато минава през точката на промяна на знак.
След това на функцията на точка има изключително, която е минимално, ако в преминаваща през точката на производните промени знак минус до плюс; максимум, ако в минаваща през точката на деривативни промени подпише от плюс до минус.
Ако производно е в прехода през точката това не променя знак, до екстремум в точката, не.
По този начин, за да се изследва функцията на екстремум, е необходимо:
- намерите производно;
- намерите най-критичните точки, което е, тези стойности, в който или не съществува;
- разгледа знака на производната на ляво и дясно на всяка критична точка;
- намиране на стойността на функцията в екстремни места.
Задача. Изследване на функция в крайност.
Решение. Намираме производната на дадена функция:
На следващо място, търси критични точки, ние решим уравнението за това:
Първият производно определя във всички точки. По този начин, ние имаме една критична точка. Приложете тази точка по оста координира и разгледа знака на производната на ляво и дясно на този въпрос (за този период на всеки да вземе произволен стойност и намиране на стойността на производната в избраната точка, определяне на знака на стойността, получена):
Тъй като температурата на преход през производно променя знак "-" до "+", а след това в този момент функцията достига минимум (или минимална стойност), и.
Забележка. Можете също така да определите интервали от монотонността функция. след интервал производно на този интервал е намаляваща функция; производно в интервала, след дадена функция увеличава тях.
Вторият достатъчно условие на екстремум
(Втори достатъчно условие за екстремум)
Да предположим, че са изпълнени за функцията на следните условия:
- е непрекъсната в близост до точката;
- първата производна в точка;
- в точката.
След това в екстремум е постигнато, и ако на мястото, на функцията има минимален; ако на мястото на функцията достига максимум.
Задача. За да се изследва функцията на екстремум от втората производна.
Решение. Намираме първата производна на дадена функция:
Ние считаме, точката, в която първата производна е равна на нула:
Вторият производно на дадена функция:
Стационарната точка на второ производно, и по този начин в този момент функцията достига минимум.
Свързани статии