Корен квадратен от дисперсията се нарича стандартното отклонение на случайната променлива. Тя ще бъде означен с.
Ако дисперсията - разсейване характеристика, очакването - характерен позиция на случайни променливи стойности върху реалната ос. произволни променливи стойности са групирани около неговата математическото очакване с някои разсейване на решен отклонението на случайната променлива.
Математическият очакването не е само характеристика на позицията на случайна променлива.
Случайни мода velichinyxnazyvaetsya му най-вероятната стойност (т.е. znacheniex за които разпределението на плътност достига максимум).
Медиана velichinyxnazyvaetsya случайна променлива, за които равенството :.
Помислете за това как да намерите най-математическите очаквания на функциите на една случайна величина за дискретни случайни величини.
Нека х е дискретна случайна променлива, която приема стойности с вероятности.
Така дискретни случайни променливи средната стойност и дисперсията изчислява чрез формулите:
Не е трудно да се намери друг израз за дисперсията, ако в решимостта си да отвори скобите:
Ние считаме, очакването и дисперсията на случайни величини, обсъдени по-рано.
Бернули случайна променлива
Равномерно разпределена случайна променлива
Експоненциална случайна променлива
Gaussian случайна променлива
Тук, първият интеграл е нула, на интеграл от нечетен функция симетричен в обхват. Вторият интеграл е равна на една от нормализиране състояние плътност Gaussian случайна променлива с параметри.
Така параметър разпределение - е очакването на Gaussian случайна променлива.
Последният неразделна вземе в части, поставяйки
Тогава най-накрая получаваме.
разпределение възможност - е вариацията на Гаус случайна променлива.
По този начин разпределението на плътността на Gaussian случайна променлива зависи от два параметъра: очаквания и вариацията.
2.5. Характерна функция
случаен velichinyxnazyvaetsya комплекс-ценен функция Opredelenie.Harakteristicheskoy функция.
Тук й - имагинерна единица.
От тази дефиниция следва, че характеристика функция по същество представлява трансформацията на Фурие на разпределението на плътността на случайна променлива х.
Ако знаем, характерната функция х. плътността на разпределението може да бъде намерено като се използва обратна трансформация на Фурие:
По този начин, характерна черта като гъстотата на разпределение, напълно определя случайна стойност и позволява да се намери вероятността за всяко събитие, свързано с произволна променлива.
В теорията на вероятностите, много често се използва терминът "закона на разпределение на случайната променлива".
Посъветвайте се с правото на случайна променлива разпределение - или набор от своята дистрибуторска функция или функция плътност, или серия от разпределение (за дискретни случайни величини), или характерната функция.
Свойства на характеристиките, получени от неговото определение:
Property 2 позволява достатъчно точно на характерната функцията за изчисляване на средната стойност и отклонението на случайната променлива, на мястото на интеграция, по-проста операция - диференциация:
Ние намираме характерния функцията на Бернули случайна променлива, нейната средна и отклонения.
Изчислява се средната и вариацията на биномно случайна променлива с помощта на редица разпределение е доста трудно. И това е много лесно с помощта на характерната функция.
Според формулата, която се нарича Тригонометрия, ние получаваме.
Ние откриваме характерната функция на равномерно разпределен случайна променлива.
Характерните функция експоненциална случайна променлива е от вида:
Ние изчисли характеристика функция на Gaussian случайна променлива. Методи за изчисляване е полезно за нас в бъдеще.
По този начин, характерен функцията на Gaussian случайна променлива се изчислява както следва:
За да се изчисли съотношението на характеристика функция се използва:
валидно за всеки един.
Тук е израз в неразделна (1), за да завършите на площада:
След това, с помощта на условието за нормализиране (2), получаваме:
По този начин, характерен функция е Gaussian случайна променлива:
2.6. Функционално трансформация на случайни величини
В инженерни приложения на теорията на вероятностите, често е необходимо да се определи законите за разпределение на функциите на случайни величини. Този въпрос е посветен на този параграф.
Да - строго монотонна функция. - домейн функция, D - област на неговите ценности. В този случай, не е обратната функция, която ще означаваме. Домейнът на обратната функция е регион Г. Р. зададените стойности за пряка и обратна функция след отношения:
Функцията обратен е строго монотонно. И ако - една монотонно увеличаване, а след това - като монотонно се увеличава. Ако - една монотонно намалява, а след това - с монотонно намалява.
Така че, нека - монотонно нарастваща функция - случайна променлива с функцията разпределение и плътност разпределение. Намираме случайна променлива плътност.
По дефиниция на функцията на разпределение на случайната променлива е равна на :.
Нека да решим неравенството за случайна величина, получаваме:
По този начин, функцията за разпределение на случайната променлива получили. това разграничаване по отношение на х. Ние се получи функцията за плътност:
Сега нека - монотонно намалява. Тогава функцията на случайна променлива разпределение е равен на:
Решаването на неравенството относително случайна променлива, е необходимо да се вземат предвид, че прилагането на двете страни на неравенството монотонно намалява преобразуване, неравенството знак трябва да бъде променено, за да обратното:
По този начин, за функцията на случайна променлива разпределение получаваме:
Разнообразяване на това уравнение по отношение на х (в обобщен смисъл на думата), получаваме:
Ако приемем, че производната на функцията монотонно намаляващ е отрицателен за всяка монотонна трансформация получаваме:
Нека не монотонна функция, но може да се раздели на зони строго монотонно точки x1, x2, ..., Xn (фиг. 13)
След това на всяка от секциите на функцията е строго монотонно и следователно е обратна. Inverse функция означен. Без ограничение на общността, ние приемаме, че - нарастваща функция. След това - намаляване, - .. Повишаване и т.н. (виж Фигура 13..).
За функцията случайна променлива разпределение получаваме:
Обобщавайки тип събитие - са несъвместими, следователно въз основа на аксиоми на вероятност, ние получаваме:
Тези вероятности могат да бъдат изчислени по отношение на плътността на вероятността на случайна променлива X:
Разнообразяване на функцията на случайна променлива разпределение, ние получаваме плътността на разпределение:
Като се има предвид, че производната на функцията монотонно намаляващ е отрицателен, ние най-накрая получи:
Нека разгледаме специалния случай на преобразуване на случайни величини.
1. На всяка част на областта на функцията, тази функция е константа (). Ясно е, че обратната функция на този сайт не съществува. След това:
Въвеждаме функцията на Хевисайд този израз може да се запише като:
Извършване генерализирана получаване на съответния срок на сумата на разпределението на плътност (3), ние получаваме:
2. Да предположим, че на всяка част от монотонна функция от първи вид има разлика в точката () (фиг. 14). За определеност, ние приемаме, че монотонно нарастваща функция. След обратната функция ще има три клона (фиг. 15)
Извършване генерализирана получаване на съответния срок на сумата на разпределението на плътност (1), ние получаваме:
Да разгледаме примери за функционална трансформация на случайна променлива.
Линеен трансформация на случайната променлива.
Нека където б не е случайни величини.
В този случай. Тази трансформация е монотонно и обратна трансформация на формата:
По този начин разпределението на плътността на случайна променлива е равна на:
Очакванията и разсейването на характеристика функцията на линейна трансформация на случайна променлива са:
Да. Намерете плътността на случайна променлива
Ако използвате процедурата, описана по-горе, получаваме:
Случайна променлива се подлага на нелинейна трансформация на формата :. Намерете плътността на случайна променлива
Тип реализация не монотонно, но можете да определите повтарящи клонове на сегментите и. обратни функции, съответстващи на тези клонове са:
В съответствие с експресия (3) за разпределение на случайната променлива плътност ние получаваме
Същото може да бъде получен чрез използване на метода за изчисляване на функцията на разпределение:
Изчисляване на общата производно, получаваме:
Случайният променлива. Намерете плътността на случайна променлива.
Ние използваме метода за изчисляване на функцията за разпределение. до:
Изчисляване на деривата, получаваме:
Да - случайна променлива с функцията разпределение. Случайният променливата получен от използването на трансформациите :. Намерете плътността на случайна променлива.
Да - непрекъснато нарастваща функция. Тогава там е монотонно нарастваща функция на обратното. Областта на тази функция е интервала [0,1] и диапазона на стойности - реалната ос.
По този начин, плътността на случайна променлива разпределение е еднакво :.
Нека - случайна променлива равномерно разпределени в интервала [0,1]. Намерете трансформация на случайна величина, за да получите случайна променлива с дадена функция за разпространение.
Да - произволна монотонно нарастваща функция.
След това, използвайки свойствата на функцията за разпределение на равномерно разпределен случайна променлива, получаваме:
Лесно е да се види, че желаният резултат се получава чрез поставяне
По този начин, за да се получи случайна променлива с дадено право разпределение на равномерно разпределени в интервала [0,1] на случайната променлива, е необходимо да се изпълни след превръщането:
Тази формула се използва широко в компютърното моделиране на случайни величини с даден закон за разпределение. Например, за да се получи експоненциално разпределена случайна променлива с плътност разпределение трябва да изпълни следната трансформация равномерно разпределена случайна променлива :.
3. Случайни вектори
3.1. Вектори и матрици
Припомняме, някои понятия от линейната алгебра.
Opredelenie.Pust А и В са два комплекта. Под прякото продукт на комплекта А и Б, да разбират събиране на двойки.
По същия начин, може да се определи директен продукт от краен брой комплекти.
За елементи запис на продукта взети под формата на N-мерни последователности (п-NOC), където к-място е, че к-тия елемент на комплекта :. Ако всички набори от директен продукт от същото, вместо на писане.
По-специално, ако комплект А е набор от реални числа R. т.е. набор от (п-NOK) реални числа. Елементите му са наречени точки и координатите на точката.
Opredelenie.Mnozhestvo нарича линейна (вектор) пространство, ако следните аксиоми са изпълнени:
1. Ако (за всеки от своите два elementovxiyopredelena summax + у, принадлежащи към същия набор).
2. За всяко реално число определя от продукта.
3.- асоциативност на прибавянето;
4.- commutativity;
5. В там е нула елемент, така че за всички.
Елементи на пространството се наричат вектори, и елементите на пространството се нарича скаларна.
В това, което следва, ние приемаме, че всеки вектор х може да се запише като колона :.
Представяме вектори за нейното транспониране: - координатите на вектора са написани на реда.
Opredelenie.Skalyarnym продукт на вектори в пространството се нарича функция, която всяка двойка вектори сътрудници на реално число. продукт точка на два вектора се изчислява както следва :.
Свойствата на скаларен продукт
1. От дефиницията на скаларно произведение следва, че. Ако.
2. За всеки две скалари и вярно :.
4. - Коши-Шварц неравенство.
Нека докажем неравенството на Коши-Шварц.
От имота 1) това. Property 2) се получи. Тъй като това неравенство се отнася и за всеки набор. Замествайки този израз, ние получаваме неравенството на Коши-Шварц.
Opredelenie.Pust и две векторни пространства. Linear оператор от в е картографиране на формата, където е. В този случай казваме, че линеен оператор на формата, дадена от размера на матрицата :.
И ако оригиналната матрица, е матричен тип транспониране:
Очевидно е, че ако А действа от тогава действа в :.
Квадратна матрица на главния диагонал на които единица останалите елементи са нула, наречен матрица идентичност :. Ето - символът Кронекер.
Нека А е линеен оператор от В.
Намираме вътрешното произведение на вектори Y и Z:
По този начин, следната зависимост притежава:
Поради големия обем на материала се поставя на няколко страници:
1 2 3 4 5 6 7
Свързани статии