В нашата практика, ние често се сблъскват с феномена, резултатът от което е невъзможно да се предскаже резултата от което зависи от конкретния случай. Теория на вероятностите - клон на математиката, която изучава случайни явления (събития) и идентифицира модели в масата на повторението им. Основната концепция на теорията на вероятностите - вероятността от събитие (относителната честота на събитието) - обективно измерване на приложимостта на това събитие.
Събития обикновено са обозначени с главни букви от азбуката: A, B, C, D. Основните видове случайни събития:
- събития се наричат несъвместими. ако няма двама от тях не може да се случи в този тест (експеримент) заедно. Например, появата на данните за монета хвърляне изключва едновременна поява на емблемата;
- Две събития са наречени съвместно. ако появата на един от тях не изключва появата на други събития в същия тест (експеримент);
- събитие се нарича автентични. ако това се случи в този тест е задължително. За пример, който печели билет от лотарията печеливша е дадено събитие;
- събитие се нарича невъзможно. ако в този анализ не може да се случи. Така например, през хвърлят зарове невъзможно да се получи 7 точки;
- Две събития се наричат противоположния (A и A # 772;), ако те са взаимно изключващи се и един от тях ще се появят в този тест. Вероятността допълнителни мероприятия добавят до 1;
- Събитието се нарича независимо от събитие, ако настъпването на събитието A не променя вероятността за събитие Б: RA (B) = Р (В). В противен случай, събитие Б зависи от събитие А;
A1 цялостна система от събития. А2. A3. ..., А п е набор от взаимно изключващи се събития, началото на най-малко един от които е задължително за този тест (опит).
Всяко събитие А се поставя в съответствие с известна степен на P (A), който се нарича вероятността за това събитие, и което отговаря на следните аксиоми:
- за всеки случай 0 ≤ P (A) ≤ 1;
- вероятност невъзможно събитие е равно на нула, P (A) = 0;
- вероятността на дадено събитие е равен на една, Р (А) = 1.
Има класически и геометрични методи разчитат вероятност събитие.
В класическия метод за изчисляване на вероятността за събитие А се изчислява по формулата: P (A) = m / п. когато:
- всички елементарни резултати са еднакво вероятно, т.е. никой от тях не е по-достъпни, отколкото от друга страна;
- m - брой елементарни опити резултати, благоприятства появата на събитие А;
- п - общ брой на всички възможни пробен елементарни резултати.
За изчисляване на п и m са често използвани и формула комбинаторна:
- н-факторен - е продукт на всички числа от една до п инклузив: н! = 1 * 2 * 3 * ... * (п-1) * п. Например: 4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 24, 1 = 1, 0 = 1!
- пермутация на п елементи - комбинация от п елементи, които се различават само в порядъка на елементи. Броят на всички възможни пермутации се изчислява по формулата: Рп = п!
- прегрупиране с повторения - дори и като се има предвид първия вид елементи N1, N2 - втория тип. NK - к-тия тип, общо п елементи. Начини за да ги поставят на различни места се наричат пермутации с повторения. Броят на пермутации с повторения, изчислени по формулата: Pn (N1, N2, ..., NK) = N! / N1! N2. NK!
- поставяне - комбинации от п елементи m (м
Когато п = m капацитет става пермутация. Ако не се вземат под внимание на реда на елементите в местоположението и само да вземе предвид неговия състав, се оказва комбинацията. - Комбинации - всички възможни комбинации на п елементи от М (m
Геометрична метод за изчисляване на вероятностите се използва, когато елементарните експериментални резултати може да се тълкува като интервала точки, форми или тялото.
Нека сегмент л е част на сегмента L. Ако приемем, че вероятността от точката на падане на сегмент L е пропорционален на дължината на този интервал, вероятността от контактни точки на сегмент L се определя от уравнението: P = дължина L / дължина L.
Вероятностни условия влизат в плоска форма д, образуващи част от равнина фигура G: F = Площ г / Area G.
Вероятността от удари точка в триизмерна форма # 965;, която е част от фигура V: P = обем # 965; / Том V.
Примери за решаване на проблемите на "Елементи на комбинаторика. Събития и техните вероятности "
През 11 клас на 30 души. 18 души са учат английски, немски 16 - 9 - и двата езика. Колко хора учат а) само на английски език, б) само на немски език, както и в) не се изучава всеки език?
Решение.
а) тъй като 18 души учат английски, 9 от тях са изучаване на английски и немски, е 18-9 = 9 хора, които учат само на английски език;
б) тъй като 16 души се учат немски, 9 от тях са изучаване на английски и немски език, а след това 16-9 = 7 хора се учат само на немски език;
в) както в класната стая 30 души, 9 от тях са изучаване на английски език, 7 - само немски, 9 - и двата езика, а след това 30 - (9 + 7 + 9) = 5 човека не се учат и да е език.
В колко начина може да пренаредите буквите в думата "Ficus"?
Решение. В този случай е необходимо да се намери броя на пермутации на 5 букви, като в думата "Ficus" всички букви са различни, броят на пермутации, определени от формула :! Р5 = 5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.
В колко начина може да пренаредите буквите в думата "отговор"?
Решение. Необходимо е да се намери броя на пермутации на 5-те букви, но за разлика от проблема 2, има дублиращи букви - буквата "а" се повтаря два пъти. Следователно, броят на начини с формула пермутации на с повторение: Р5 (1, 2, 1, 1) = 5! / 2! = 60.
Колекцията на билет по математика само 25 билета, като 10 от тях са намерени въпрос за деривата. Намерете вероятността случайно избран ученик на изпит билет, няма да получите въпрос за деривата.
Решение. В този случай, броят на успех е равна на (25-10) = 15, общият брой на събития - 25.
Вероятността за събитие на = намери съотношението: P (A) = 15/25 = 0.6.
В кутията има 15 позиции, сред които осем оцветени. Случайни берач извлича три части. Намерете вероятността, че извлечените части ще бъдат боядисани.
Общият брой на всички възможни резултати от-елементарния тест е броят на начините, по които можете да извлечете 3 части 15:
п = 3 С15 = 15! / 3! (15-3)! = 15! / (3! * 12!) = 13 * 7 * 5 = 455.
Броят на успехи е броят на начините, по които можете да извлечете 3 части 8 оцветени:
m = 3 С8 = 8! / 3! (8-3)! = 8! / (3! * 5!) = 7 * 8 = 56.
Ние считаме, вероятността за събитие А като отношението: P (A) = m / п = 56 / 455≈0,12
Сред 17-студенти групи, от които 8 - момиче играе 7 билети за театър. Каква е вероятността, че те ще бъдат 4 момичета и 3 момчета сред притежателите на билети?
Общият брой на възможните елементарни резултати изготви равен на броя на начините, по които можете да изберете, 7-те хората от всички групи от ученици, т.е., от 17: .. N = C17 7 = 17! / 7! (17-7)! = 17! / (7! * 10) = 19448.
Броят на успехи (7 сред притежателите на билети 4 жени и 3 мъже) ще намерите, като се има предвид, че 4 от 8 жени могат да избират C8 4 начина и 3 от 9 млади мъже могат да избират C9 три начина. Следователно, m = 4 * С8 С9 3 = 8! 9! / 4! (8-4)! 3! (9-3)! = 5880.
Ние считаме, вероятността за събитие А като отношението: P (A) = m / п = 5,880 / 19448≈0,3
Други статии по тази тема:
библиография
Свързани статии