Основната собственост на проективната равнина - "симетрия" ролите на точки и линии в дефинициите и теореми и двойствеността е формализация на понятието. Има два подхода към тази двойственост: едната се използва езика (виж "принцип двойственост" по-долу.), А другият, по-функционален подход. Те са напълно еквивалентни, и служат като изходна точка за версии на аксиома геометрия. В функционалния подход, има съответствие между геометрията, който се нарича дуалността. В конкретни примери съответствието може да бъде изграден по много начини. концепция самолет двойственост е лесно да се разшири и да е краен двойна в проективната геометрия.

Принципът на двойственост [| ]

Ако се определи като проективна равнина на падане аксиоматично структура по отношение на набор от точки P. набор от линии L и двоичен връзка честота I. определя кои точки лежат на прави линии, които е възможно да се определи двойна равнина структура.

Ако обменят роли "точка" и "права" в честотата на структура

Ние се получи двойна конструкция

където I * - обратна връзка [ен], за да I. С * е проективна равнина, наречена двойна (двойно) за равнината С

Ако C и C * е изоморфен, а след това C се нарича самостоятелно двойна. Projective PG равнина (2, К) за всяко поле (или, по-общо, за разпределението пръстен изоморфни своята двойна) К са самостоятелно двойна. По-специално, краен ред самолет Desarguesian винаги самостоятелно двойна. Въпреки това, сред не-Desarguesian равнини съществуват като самостоятелно двойна (например, равнина Hughes [ен]), не самостоятелно двойна (например, Хол равнина).

За проективна отчета за самолет относно точки, самолети и тяхната честота, получена от друга такова одобрение от обмена на гледна точка "точка" и "ред" (промяната, ако е необходимо, граматика) се нарича двоен изявлението. Dual изявление за "Две точки минава уникална линия" ще бъде "Две линии се пресичат в една точка." Формирането на двойното одобрението нарича одобрение dualization.

Ако твърдението е вярно в проективната равнина C, а след това на двойна предложение трябва да е вярно в двойна C * самолет. Това е следствие от факта, че dualization на всяко твърдение в доказателството "в C" дава одобрение за доказателство "в C *".

Принципът на дуалността равнина казва dualization всички самостоятелно двойна теореми в проективна равнина С създава друг определен теорема в C.

Тази концепция може да се обобщи до двойно триизмерното пространство, където понятието "точка" и "равнина" се промени тяхната роля (и линии остават права). [1] Принцип Това води до пространство дуалността. Възможни допълнителни обобщения (виж по-долу).

Тези принципи са добра причина за използването на "симетрични" план за съотношението на честотата. Така че, вместо предлага "точка лежи на линията" може да се каже "точка и директен инцидент", както и за одобряване на dualization достатъчно думи и линията да се разменят ( "права линия и инцидент точка").

По дефиниция проективна равнина е набор от точки и линии и проективна трансформация може да показва точка на точките и линиите на правите линии. Такава трансформация се нарича колинеация. [2] При разглеждането на проективна равнина двойствеността се счита друга карта, в която посочва в прави линии и линиите - в точка. Такава карта се нарича корелация. [3] Очакваното дисплея се определя от изискванията на запазване

1) честотата на точки и линии 2) двойно съотношение [4]

Dual теореми [| ]

Тъй като истински проективна равнина PG (2, R) е самостоятелно двойна, има редица добре известни твърдения, които са двойно един към друг. Сред тях са:

Двойствеността като карта [| ]

Двойствеността (равнина) - картографиране на проективна равнина C = (Р, L, I) в двойна C * = (L, Р, I *), като се запазва свойството на падане. По този начин, дуалността (равнина) сигма представлява точка в директен и направо на точките (P σ = L и L σ = P) по такъв начин, че ако Q е разположен на ред м (означен QI т), тогава Q σ I * м σ ⇔ m σ IQ σ. Двойствеността (самолет) е изоморфизъм нарича корелация. [5] Наличието на корелация означава selfdual проективна равнина.

В специален случай, когато проективна равнина е от тип PG (2, К), където К - разделяне пръстен, наречен трансформация взаимно дуалността. [6] Според основното теоремата на проективна геометрия [ен] превръщане на състава е в Automorphic функция К и проективна трансформация. Ако вашият automorphism е самоличността, взаимното трансформация се нарича проективна корелация.

Съотношение на втория ред (инволюция) и се нарича полярност. Ако връзката не е полярността, а след това ф 2 е nontrivial колинеация.

Тази концепция на дисплея може да се разшири до по-високи размери на пространството, така че базовата равнина може да бъде отстранен.

Двойствеността на по-високи измерения [| ]

Двойствеността проективна равнина е специален случай на двойствеността за проективни пространства. Реализации PG (N, K) (които са обозначени като KP N), където К - поле, обмен R измерение обекти с обектите на измерение п - 1 - Г (= codimensional R + 1). Така, в проективна пространство на измерение п на точката (размер 0) ще съответства hyperplanes (codimensional 1), линиите, преминаващи през две точки (размер 1) ще съответстват на пресечната точка на два hyperplanes (codimensional 2), и така нататък.

Точка на PG (N, К) може да се разглежда като ненулев вектор в (п + 1) двумерен вектор пространство над K. в които идентифицират двата вектора, ако се различават само по скаларна умножение. Друг начин за представяне на точките п двумерен проективна пространство - двете прави линии, преминаващи през произхода в Кт + 1. което е едно двумерен вектор подпространство. Така, п тримерно вектор полета подпространство Кн + 1 са (N - 1) тримерно hyperplane геометрична проективна п пространства над К.

Ненулева вектор ф = Кн + 1 да се определи (п - 1) - (U0, u1 ООН.) Триизмерна геометрична подпространство (hyperplane) Ху,

ф вектор. се използва за определяне на hyperplane, означават UH. и да се отнасят до точката, съответстваща на края на вектора, ние използваме нотация нагоре. От гледна точка на обичайната скаларна продукт. Ху = XP: ъ • XP = 0>. Тъй като К е област, скаларен продукт е симетричен, което означава, • UH XP = u0 x0 + U1 x1 +. + Un Xn = x0 u0 + x1 U1 +. + Xn ООН = XH • До. Можете да определите взаимно превръщане между точките и hyperplanes нагоре ↔ Ху. Тази кореспонденция може да бъде удължен до преки, образуван от две точки, а на кръстовището на две hyperplanes, и така нататък.

На проективна равнина PG (2, К) с поле К имаме съвпадение: хомогенни координати (а, б, в) ↔ линии, дадени от уравнения брадва + с + CZ = 0. В проективна пространство PG (3, К) съвпадение изглежда точка в хомогенни координати (а, б, в, г) ↔ равнина дадено от уравнения брадва + с + CZ + DW = 0. Това кореспонденция също показва права линия, определена от две точки (А1, В1, С1, D1) и (а2, b2, с2, d2), по права линия, който е точката на пресичане на две равнини, определени от уравнения а1 х + у + b1 С1 Z + D1 w = 0 и а2 х + у + b2 с2 Z + d2 т = 0.

Триизмерното пространство [| ]

В полярни съответствия реално проективна 3 тримерно пространство PG (3 R) точки съответстват на равнини и линии съответстват на линии. Твърдият геометрията има двойно многостен. когато точките са двойно лица и ръбове двойни ръбове, така че двойно icosahedron, додекаедър. и на куба е двойна октаедър.

Геометрична изграждане на взаимно трансформация [| ]

Стойност в PG (2, R) в хомогенни координати могат да бъдат описани геометрично. За тази цел, реалната модел на проективна равнина [ен] "единична сфера с идентификационни антиподи [7]" или, еквивалентно, модел линии и равнини, минаващи през началото на пространство R 3. асоциираното координира с линията, минаваща през началото, перпендикулярна на равнината на стъпалото на, съдържащ произхода. Ако този модел се счита поредни точки и самолет - направо проективна равнина PG (2, на R), това сравнение става кореспонденция (и всъщност - полярна картографиране) на проективната равнина. Сферични модел може да бъде получен, както е пресечната точка на линиите и равнини, минаващи през произхода с единична сфера, имаща център в основата. Директен пресичат областта на две противоположни точки, които са идентифицирани за получаване на точка на проективна равнина, равнината на напречното обхвата на голяма окръжност. които са директно проективна равнина.

Фактът, че такова сравнение "спестява" на честотата, че е лесно да се покаже на линиите на моделите и равнини. Точка инцидент с линия в проективната равнина съответства на права линия лежи в равнината на модела. Според сравнението, самолетът се превръща в права линия, преминаваща през началото и перпендикулярна на равнината. Това изображение (права линия), перпендикулярна на всяка права линия, разположена в равнината, и по-специално, и оригиналната линия (точката на проективна равнина). Всички прави линии, перпендикулярни на базовата линия, образуващи равнина, която е на равнината на свързан източник линия. По този начин, директно изображение се намира в равнината на изображението, така че честотата на задържани.

Полюс и полярен [| ]

За поле и полярен обиколка О. P = Q '. Q - полярен за Q. Q - поле за р.

В Евклидово пространство, ние определи кръг С с център О и радиус R. За всяка точка, различна от P. O. определи Q изображение. така ОП • OQ = R 2. Показва Р → Q нарича инверсия [ен] [8] спрямо окръжност С Direct Q на. P. перпендикулярна преминаваща през ОП. Това се нарича полярен точка Q по отношение на окръжност С.

Нека р - линия не преминава през О. капка перпендикулярна от О до р. който пресича в точка Q Р (О е най-близо до точката на линия р). Q на точката за изображение (P точка), когато инверсия се нарича поле линия С р. Ако точката се намира на една права линия М Q (не преминава през О), полюс линия Q намира на полярен точка М и обратно. Процесът запазва честотата, при която преминават в техните поляри и полюси точки и линии, по отношение на С се нарича проективна трансформация. [9]

За да стане това процес на взаимно превръщане Евклидово пространство (не-проективна равнина) трябва да се простира към удължения Euclidean равнина чрез добавяне на линията на безкрайност [ен] и точки в безкрайността [ен]. които лежат на една права линия на безкрайност. Това удължено равнина, ние определяме полярната точка O като линия на безкрайност (и О е полюс на безкрайност) и полюсите на права линия, минаваща през О в безкрайността точка, където, ако линията има наклон S (≠ 0), му полюс е безкрайност точка, съответстваща на класа на успоредни линии с -1 / и наклон. Поле за оста х - това е точката в безкрайността на вертикални линии и пол у ос - точката, в безкрайността на хоризонтални линии.

Изграждане полярен трансформация за инверсия кръг дадени по-горе могат да бъдат обобщени използвайки инверсия конични части (в равнината удължен реални). Взаимното превръщане, така конструиран, е проективна корелация на втори ред, т.е. полярен трансформация.

Картиране на сферата на равнината [| ]

проективна модел равнина с сфера единица е изоморфни (като се вземе предвид честотата собственост) планарна модел, където равнината на проективна линия удължен до безкрайност. В този модел, срещуположните точки на областта (спрямо центъра) се считат за една точка.

За да маркирате точки от точката на сфера в самолета, ние приемаме, че сферата докосва самолета в някакъв момент и този момент ние приемаме като равнина произход. Сега ние се тегли чертата през точката на сферата и центъра на сферата. Тази линия пресича областта в определен момент. Получената точка може да се използва за изграждане на едно-към-едно картографиране

Прав на равнинни модели са проекции на голяма окръжност сфери и чрез директно в самолета и началото на 3-измерни координати могат да бъдат направени равнина, и тази равнина пресича областта в голям кръг.

Както може да се види, всеки може да се сравни с голяма сфера кръг проективна точка, съответстваща на една линия, перпендикулярна на равнината, в която се намира кръг, и който може да бъде описан като противоречива. Тази линия пресича допирателната равнина, и това показва как да картографира една точка в самолета всеки ред от тази плоскост, така че точката е двойна линия.

Бележки [| ]

Имоти [| ]

Позоваването [| ]

Външни връзки [| ]