1. Concept може да се коригира крива и дължината
Нека крива L се определя по параметри L .. а £ т £ б. където J (т), Y (т) са непрекъснато на [а, Ь]. Обърнете произволен дял на интервала T [а, Ь] в сегменти. , така че.
Точките на сегмента на дял [а, Ь] съответстват на точки на кривата, т.е. Полученият точка координира точки се свързват и получаване на многоъгълни отсечки с върхове. Това ще се нарича многоъгълна вписан в крива, съответстваща на даден дял L. T. единица дължина е наклонена. така дължината на прекъснатата линия
Имайте предвид, че еднозначно определя от дял Т. Нека. ,
Определение 1. крива L е да се коригира. ако има ограничение на сумата (1).
Когато този брой се нарича дължина L на кривата.
2. Изчисляване на дължината на плавна крива
Лема 1. неравенството:
1) Ако. и неравенството е очевидно.
2) ако. тогава поне един от В или С номера не е равен на 0. След
Лема 2 (адитивност имот). Ако може да се коригира крива L M0 точка е разделен на две криви L1 и L2. тези криви са преодолими и Определение 2. кривата L е гладка. ако уравнение му може да се запише в параметрична форма. т Î[А; Ь], където J (т) и у (т) имат непрекъснати производни й ¢ (Т) и у ¢ (Т), като в същото време не стане нула (т.е.).
Определение 3. крива L е по части гладка. ако може да бъде разделена на определен брой гладки криви.
Теорема 1. Всеки гладка крива L .. т Î[А; Ь], се коригира и дължина се изчислява по формулата
Обърнете произволен дял на интервала T [а, Ь] конструиране на парчета и счупен. вписан в кривата, и L, съответстваща на тази преграда Т. дължина се изчислява по формула (1). Функции й и у в сегмент () отговарят теорема Лагранж. Ето защо,
След това (1) следва. (3)
Ако в (3) се заменя със. тогава се получи неразделна сумата на функцията на [а, Ь]. Тъй й ¢ (т) и у ¢ (Т) на [а, Ь] непрекъснато, функцията е непрекъсната върху [а, Ь]. но след това
Ние считаме, че разликата и да се покаже, че. Това ще означава, че има равно. тоест, ние получаваме (2).
Ние очакваме, абсолютната стойност на разликата:
Прилагането на Лема, получаваме:
у функция ¢ (т) е непрекъсната върху [а, Ь] Следователно е равномерно непрекъснато в този интервал, следователно, е изпълнено
Да предположим, че дял Т отговаря на условието. След това. Следователно, въз основа на (5) имаме:
След това (4).
Формула (1) могат да бъдат написани под формата.
Забележка 1. Нека гладка крива, дадена от уравнението. Нека да преминем към параметричните уравнения. Ние вярваме, че:
Забележка 2. Нека гладка крива в полярни координати, дадени от уравнението. Нека да преминем към параметричен заданието:
Свързани статии