по пътя на произхода не се увеличава, това е, всички траектории, определени от частични решения, които са в близост до началния момент, остават близки до произхода и растежа. Това по дефиниция означава, че тривиално разтвор е стабилен.
Ако след това се увеличава разстояние с увеличението, следователно разтворът нула е нестабилна.
Функцията на тези аргументи могат да се заменят с по-удобно във функцията на изчисление.
Пример. Проучване за стабилност на тривиално решение на система от диференциални уравнения.
Да. Нека да се намери производната на тази функция по траекториите на системата:
Така, - не-нарастваща функция, т.е. точката на произволен път не се отстранява от основата, така че тривиално решение на системата е стабилна, и следователно устойчив всички разтвори на тази система.
Трябва да отбележим, че неравенството, че - монотонна функция. Въпреки това, неподвижна точка може да бъде стабилен и не-монотонна приближение към него траектории, съответстващи на произволни решения (център или стабилна фокус (фиг. 13, 14)). Следователно, като функции, чрез което изследват стабилността, счита функция Lyapunov, някои свойства, които са подобни на свойствата на разстояние, но те не са на разстояние.
OPREDELENIE.Proizvodnoy функция от силата на системата (12.1) се нарича общо производно.
Помислете за автономна система
Ние предполагаме, че функцията не зависи от времето и неговите производни, по силата на (12.12) за такава система има формата :.
ОПРЕДЕЛЯНЕ. Функцията се нарича положителен (отрицателно) е определено в определен -vicinity произход, ако навсякъде само в този квартал. Положително или отрицателно на определени функции се наричат сигурен признак.
Спомнете си, че произход-Кварталът е множеството от точки, определени от неравенството. Ако има кръг с радиус центрирана в произхода, ако сте - топката на радиус.
Примери. а) навсякъде освен в основата, както добре. Следователно - положително определена функция.
б), където. Така че, по дефиниция - положително определена функция.
Но защо положително определена функция не е: той е нула, не само в основата.
ОПРЕДЕЛЯНЕ. Функцията се нарича неотрицателно (не-положителна) в някои -vicinity произход, ако навсякъде в тази близост, а не само на. Non-негативни или не-положителни функции се наричат постоянен знак.
Пример. Функцията е по дефиниция не-отрицателни.
По дефиниция, тя не е нито определен, нито постоянен знак.
ОПРЕДЕЛЯНЕ. функция Ляпунов се нарича автономна система (12.12), ако е
1) е диференцируема в квартал на произхода;
2) положителен определен (отрицателно определена) в близост;
3) по силата на производно на (12,12) навсякъде в този район.
Помислете за системата (12.12), а ние предполагаме, че тя има тривиално решение, т.е..
Теорема (Lyapunov стабилност). Да предположим, че е диференцируема функция, фиксиран знак в съседство на произход, чиито производно по силата на (12,12) в близост до постоянно знак и с обратен знак или идентично нула. Тогава тривиално решение на системата (12,12) е стабилна.
Доказателство. Нека диференцируема функция е определено в положително съседство на произхода и нейната производна по отношение на системата (12,12) или по-малко. попитам
Свързани статии