Чрез специално споразумение с редакционния съвет и списание редакционната "Quantum"
В решаването на механични проблеми неоценима помощ може да използва концепцията за центъра на масата на системата. Някои задачи, които не могат да бъдат разрешени без да се прибягва до тази концепция, решението, с помощта на други хора може да стане много по-лесно и по-ясни.
Преди да обсъдим конкретни задачи, припомнят основните функции центъра на масата и илюстрират своите примери.
Мас център (център на масата) на точка система повикване характеризиращи разпределението на масата на системата, координатите на които се определят от формулите
Къде ми - маса на материални точки, съставляващи системата, XI. ай. зи - координати на тези точки. Читателите, запознати с концепцията на вектора на радиус предпочитат вектор нотация:
Пример 1. Намираме положението на центъра на тежестта, най-простата система, състояща се от две точки, чиито маси М1 и М2 и разстояние L (фиг. 1).
Изпращане от първата точка на втората ос X, ние откриваме, че разстоянието от първата точка на центъра на тежестта (т.е. центъра на маса координира) е равно на разстоянието от центъра на масата до втора точка, която е равна на съотношението на разстоянията от резервно масово съотношение. Следователно, в този случай на позицията на центъра на масата съвпада с центъра на тежестта.
1) Позицията на центъра на масата не се променя, ако някаква част от системата за замяна на една точка с маса, равна на масата на подсистемата, и се намира в центъра на масата.
Пример 2. Нека разгледаме по еднакъв плосък триъгълник и да намерите местоположението на центъра на масата. Разделете триъгълника на тънки ивици, успоредни една страна, и на мястото на всяка лента точка, разположена в центъра му. Тъй като всички тези точки лежат на една средна на триъгълника, в центъра на масата трябва да лежат на една и съща медианата. Повтарянето на аргументите и за двете страни, ние откриваме, че центъра на тежестта се намира в пресечната точка на медианите.
2) центъра на масата скорост може да се намери, като производната по отношение на времето на двете страни на уравнение (1):
където - импулсната система, m - общата маса на системата. Вижда се, че в центъра на масата скорост на затворена система е постоянна величина. Така че, ако се свърже с центъра на масата постъпателно движещи референтна рамка, той ще бъде инерционно.
Пример 3. представлява хомогенна прът с дължина L вертикално върху гладка равнина (фиг. 2) и освободен. През есента на хоризонталния компонент на своята инерция, както и хоризонталната компонента на скоростта на центъра на масата ще остане нула. Ето защо, по време на падането на центъра на пръта е в позицията, в която първоначално се изправи тоягата и краищата на пръта ще се премества хоризонтално.
3) Ускоряване на центъра на маса, равна на производната на скоростта време:
където от дясната страна са само външните сили, тъй като всички вътрешни сили са намалени чрез трети закон на Нютон. Ние считаме, че центърът на тежестта се движи така, че да се движат един въображаем точка с маса, равна на масата на системата, под действието на резултатната на външни сили. Вероятно, това е най-физичните свойства на центъра на масата.
Пример 4: Ако хвърлите пръчка, го доведе в същото време в ротация, в центъра на масата на пръчката (средата му) ще се движат с постоянно ускорение по парабола (фиг 3)..
4) Да системата от точки, разположени по еднакъв гравитационно поле. Тогава общият момента на силите на гравитацията, по отношение на всяка ос, минаваща през центъра на маса, равна на нула. Това означава, че резултантната на тежестта преминава през центъра на масата, т.е. центърът на тежестта е и центъра на тежестта.
5) потенциалната енергия на системата от точки по еднакъв гравитационното поле се изчислява по формулата
където hts- височина на центъра на тежестта.
Пример 5. Когато изкопаване в хомогенна паунд яма дълбочина часа и разпространение върху повърхността на почвата, потенциалните енергия се увеличава на, където m - маса на изгребани материал.
6) И още един полезен собственост на центъра на масата. Кинетичната енергия на системата от точки може да бъде представен като сума от два мандата: общата кинетична енергия на постъпателно движение на системата равен, а кинетичната енергия Eotn движение по отношение на рамката свързва с центъра на масата:
Пример 6. кинетична енергия обръч търкаляне без приплъзване върху хоризонталната повърхност на υ скорост, е
тъй като относителното движение в този случай той е чист въртене, за които линейната скорост на точки равни на обръч ню (пълна скорост по-ниска точка трябва да бъде нула).
Сега ние се пристъпи към урока за използването на центъра на масата.
Задача 1. Хомогенна прът лежи върху гладка хоризонтална повърхност. По прът прилага два равни по големина, но срещу посоката на хоризонталните сили: една сила се прилага към средата на пръта, а другият - към края (Фигура 4). Що се отнася до някакъв момент започва да се върти пръчката?
На пръв поглед може да изглежда, че оста на въртене ще бъде една точка, разположена по средата между точките на прилагане на сила. Въпреки това, уравнение (3) показва, че количеството на външна сила е нула, тогава нула и ускоряването на центъра на тежестта. Така че, в центъра на пръта ще остане в покой, т.е. служи като ос на въртене.
Проблем 2. тънък хомогенен прът дължина L, и М масата в движение по гладка хоризонтална повърхност, така че да се движи напред и се върти едновременно с ъглово со скоростта. Намери обтегач съгласно х разстояние от центъра му.
Нека се обърнем към инерциална референтна система, свързана с центъра на пръта. Ние считаме, че движението на парчета пръчковидните направени между прът счита точка (с х разстояние от центъра) и края (фиг. 5).
Единственият външната сила за тази част е желаният напрежение сила FH. маса е равна на, и центъра на масата се движи в кръг с радиус с ускорение. Писане на уравнението на движение на избрания център на масата парче се получи
Проблем 3. двойна звезда се състои от две звезди на М1 съставните маси и М2. разстоянието между тях не се променя и остава на L. Намерете периода на въртене на двойна звезда.
Помислете за движението на звездите, компонентите в инерциална отправна рамка, свързана с центъра на масата на бинарните звезди. В тази конструкция на референтните звезди се движат със същата ъглова скорост в кръговете на различни радиуси (фиг. 6).
Радиусът на въртене на звездата е равна на маса m1 (виж Пример 1), както и неговите центростремителна ускорение създава привлекателна сила в друга звезда.:
Виждаме, че в периода на въртене на двойна звезда е
и се определя от общото тегло на двойна звезда, без значение как се разпределят между тризвездни компоненти.
Задача 4. Две точка маси m и 2М безтегловност свързани дължина нишка л и да се премести в гладка хоризонтална равнина. В някои време маса скоростта на 2 m е нула, и m е ню масовата скорост и се насочва перпендикулярна на спиралата (фиг. 7). Намери опъването на конеца и периода на въртене на системата.
В центъра на масата се намира на разстояние от 2м от масата и се движи с висока скорост. В координатна система, свързана с центъра на масата на маса точка 2т движи в кръг с радиус скорост. Следователно, периодът на въртене е равна на (уверете се, че един и същ отговор се получава, ако смятаме, че една точка маса м). за опъване на конеца е намерена от уравненията на движение на една от две точки:
бар задача 5. Две идентични маса m, всеки свързан светлина пружина скованост к (фиг. 8) лежат върху гладка хоризонтална равнина. Първи бар υ0 съобщава скорост в посока от втората лента. Опишете движението на системата. След известно време, деформация на пружината за първи път да достигне максималната стойност?
В центъра на масата ще се движат с постоянна скорост. В центъра на масата референтна рамка начална скорост равна на всяка лента, и половината твърдост пружина, която се свързва с фиксиран центъра на масата е 2k (пружина скованост е обратно пропорционална на неговата дължина). Периодът на трептене е равно на
и амплитудата на колебание на всеки бар, в който може да се намери от закона за запазване на енергията е
Първият път, когато деформацията става максимум в една четвърт период, т.е. през времето.
Задача 6. топка маса съм се сблъсква със скорост υ почивка на топка маса 2m а. Намерете две топки се ускори след еластичната централна удара.
В референтната система, свързана с центъра на масата, общата инерция на двете топки равна на нула, както преди, така и след като до сблъсъци. Лесно е да се отгатне какво отговорът на крайните отговаря скорост както на състоянието и на закона за запазване на енергията: скоростта ще остане същата, както преди удара, по величина, но няма да се промени посоката си към обратното. центъра на масата на системата е скорост. В центъра на масата на системата, първата топка се движи със скорост, а вторият топката се движи към първия скоростта, с. След удря топките ще лети в същия размер. Ляв да се върне към първоначалната референтна рамка. Прилагането на закона за събиране на скорости, ние откриваме, че крайният скоростта на топката е равна на масата м и е насочена назад, и скоростта на топката, преди почивка маса 2 т и е насочен напред.
Имайте предвид, че в ССФ очевидни е твърдението, че относителната скорост при удара на топки не се променя по сила, но посоката се променя. И тъй като разликата в скоростта в прехода към друга инерционна референтна система не се променя, можем да предположим, че ние да отбележи важно съотношение за първоначалната референтна рамка:
където υ писмо се използва за обозначаване на първоначалните тарифи, и ти - край. Това уравнение може да бъде решен заедно с закона за запазване на инерцията, вместо на закона за запазване на енергията (което включва скорост през втората степен).
Задача 7. Известно е, че когато еластичната нецентрално сблъсък на две еднакви топки, една от които почиват преди удара, ъгълът на разделяне е 90 °. Докажете това твърдение.
В центъра на масата удар център може да бъде описан, както следва. Преди да удря топките идват заедно със същата инерция, след удара те летят с еднаква амплитуда, но с обратен импулси и директно изпарение се върти от определен ъгъл по отношение на директен подход. За да се върнете към първоначалната референтна рамка, е необходимо да се определят всеки краен скорост (вектор!) От центъра на маса скорост. В случай на еднакви топки център на масата скорост е където υ - скорост на входящия топка и центъра на масата референтна рамка топки събират и разсейване с еднакви скорости. Фактът, че след всяко добавяне на крайния скоростта, с центъра на масата скорост получен чрез взаимно перпендикулярни вектори, може да се види от Фигура 9. може просто да се провери дали скаларен продукт на вектори и изчезва дължи на факта, че модулите на векторите са равни помежду си.
1. прът маса m и дължина L се шарнирно в единия си край. Прътът отхвърлено от определен ъгъл от вертикално положение и освободен. По време на преминаването на вертикалното положение на дъното на скоростта на точка, равна на ню. Намери напрежението в средата на бара по това време.
2. прът маса m и дължина L се върти в хоризонталната равнина, при ъглова скорост ω около един от неговите краища. Вземете зависимостта на напрежение прът на разстояние х на оста на въртене, когато на другия край е фиксиран малка обемна маса М.
3. Намерете периода на трептене на системата, описана в статията проблем 5, но решетките на различни маси m1 и m2.
4. Отпечатайте известна обща формула за еластична централната Shot две топки, с помощта на прехода в центъра на масата референтна рамка.
5. топката удари балон, стоящо на маса m1 в масово m2. Намерете максималната възможна отклонение на ъгъла на падане на сферата в еластична noncentral въздействие.